Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.11.2012 (14:09)

  1) | 2x+5| >bądź równe 2
  2)|1/2x-2| < bądź równe 1
  3)|4-x|> 6
  4)|6-x| < 2
  
  W każdym podpunkcie badamy dwie możliwości:
  --- Gdy wyrażenie w |...| jest dodatnie lub zero pozbywamy się znaków |...|
  --- Gdy wyrażenie w |...| jest ujemne bierzemy je ze znakiem minus.
  =================
  
  1)
  Gdy 2x + 5 >= 0, co oznacza, że x >= - 5/2 mamy: |2x + 5| = 2x + 5
  i nierówność przechodzi w:
  2x + 5 >= 2 ; czyli 2x >= -3 ; czyli x >= -3/2.
  Warunek x >= -3/2 automatycznie zapewnia, że x >= -5/2 ; z tej części mamy:
  x >= -3/2.
  
  Gdy 2x + 5 < 0, co oznacza, że x < - 5/2 mamy: |2x + 5| = -2x - 5
  i nierówność przechodzi w:
  -2x - 5 >= 2 ; czyli -2x >= 7 ; czyli x <= -7/2.
  Warunek x <= -7/2 automatycznie zapewnia, że x < -5/2 ; z tej części mamy:
  x <= -7/2.
  
  Łączymy oba rozwiązania:
  
  x \in (-\infty; -7/2> \cup <-3/2; +\infty)
  
  =================
  
  2)
  Gdy (1/2)x - 2>= 0, co oznacza, że x >= 4, mamy: |(1/2)x -2| = (1/2)x - 2
  i nierówność przechodzi w:
  (1/2)x - 2 <= 1 ; czyli x <= 6
  Połączenie obu warunków daje x z przedziału <4, 6>
  
  Gdy (1/2)x - 2 < 0, co oznacza, że x < 4, mamy: |(1/2)x -2| = -(1/2)x + 2
  i nierówność przechodzi w:
  -(1/2)x + 2 <= 1 ; czyli x >= 2
  Połączenie obu warunków daje x z przedziału <2, 4)
  
  Teraz sumujemy oba przedziały: <2, 4) U <4, 6> i mamy:
  
  x \in \,<2; 6>
  
  =================
  
  3)
  Gdy 4 - x >= 0 ; co oznacza x < = 4 ; mamy |4 - x| = 4 - x.
  i nierówność przechodzi w:
  4 - x > 6 ; czyli x < -2
  Warunek x < -2 automatycznie zapewnia, że x <= 4; z tej części mamy:
  x < -2
  
  Gdy 4 - x < 0 ; co oznacza x > 4 ; mamy |4 - x| = -4 + x.
  i nierówność przechodzi w:
  -4 + x > 6 ; czyli x > 10
  Warunek x > 10 automatycznie zapewnia, że x > 4; z tej części mamy:
  x > 10
  
  Łączymy oba rozwiązania:
  
  x \in (-\infty; -2) \cup (10; +\infty)
  
  =================
  
  4)
  Teraz inna metoda:
  Ponieważ wyrażenie w |...| ma być mniejsze od 2 to musi zachodzić podwójna nierówność:
  
  -2 < 6 - x < 2 ; co oznacza jednoczesne spełnienie dwóch nierówności:
  
  -2 < 6 - x ; co daje x < 8 ; oraz
  
  6 - x < 2 ; co daje x > 4
  
  W rezultacie:
  
  x \in (4; 8)
  
  =================
  
  Druga metoda wymaga znacznie mniej pisania, ale łatwiej się pomylić. Wybieraj :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie