Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.11.2012 (09:17)

  Zadanie 3.80
  Szczerze mówiąc nic mi nie przychodzi do głowy jak założyć, że rozkład wielomianu na czynniki będzie w miarę sensowny, tzn. pojawiać się będą liczby całkowite. Weźmy ogólną postać wielomianu 3-go stopnia i zapiszmy go tak:
  
  W(x) = (ax + b)(cx^2 + dx + e) ; wymnażamy, łączymy wyrazy z tą samą potęgą x.
  
  W(x) = acx^3 + (bc + ad)x^2 + (bd+ae)x + be
  
  Teraz zauważ, ze iloczyn a*c stoi przy x^3, iloczyn b * e przy wyrazie wolnym.
  Można próbować zgadywać te cztery liczby. Patrz niżej:
  
  a)
  a * c = 10 oraz b * e = 1
  Próbuję: (5x + 1)(2x^2 + dx + 1) lub (2x + 1)(5x^2 + dx + 1)
  Pierwsza postać oznacza a = 5, b = 1, c = 2, e = 1.
  Po podstawieniu do ogólnej postaci powyżej mamy:
  W(x) = 10x^3 + (5d + 2)x^2 + (d + 5)x + 1
  Z tego, po porównaniu do wielomianu z zadania mamy d = -7 lub d = -1, sprzeczne.
  Próbujemy na odwrót: a = 2, b = 1, c = 5, e = 1. Wtedy:
  W(x) = 10x^3 + (2d + 5)x^2 + (d + 2)x + 1
  Z tego, po porównaniu do wielomianu z zadania mamy d = -4. Pasuje!
  
  W(x) = (2x + 1)(5x^2 + dx + 1) = 0
  x1 = -1/2; drugi nawias jest nierozkładalny.
  
  b)
  Próbuję
  (4x + 3)(4x + dx + 1) = 16x^3 + (4d+ 12)x^2 + (3d - 4)x + 3
  To daje d = -10 lub d = 0, sprzeczne.
  Oszczędzę Ci innych prób, udany rozkład, na który w końcu się trafi, to:
  
  W(x) = (4x + 1)(4x^2 - 8x + 3) = 0
  
  Pierwszy nawias daje x1 = -1/4
  Drugi nawias daje x2 = 1/2; x3 = 3/2
  
  c)
  6 rozkłada się na 2 * 3; -2 rozkłada się na - 1 * 2, próbujemy postaci rozkładu typu:
  (2x - 2)(3x^2 + dx + 1)
  Okazuje się, ze właściwy rozkład to:
  
  W(x) = (3x - 2)(2x^2 - 3x + 1) = 0
  Pierwszy nawias daje x1 = 2/3
  Drugi nawias daje x2 = 1; x3 = 1/2
  (akurat tutaj można było sprawdzić czy x = 1 pasuje, ale nie pomyslałem).
  
  d)
  Metodą prób z rozkładami 4 = 2 * 2; 3 = 1 * 3 dostajemy:
  
  W(x) = (2x - 1)(2x^2 + 2x - 3)
  Pierwszy nawias daje x1 = 1/2
  Drugi nawias daje x2 = [-1 - pierwiastek(7)] / 2; x2 = [-1 + pierwiastek(7)] / 2

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie