Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 27.11.2012 (11:14)

  Zadanie 3.76
  We wszystkich przykładach trzeba szukać pierwiastków próbując podzielniki wyrazu wolnego (na przykład w 'a' są to: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8). Następnie dzieli się wielomian przez (x - x1), gdzie x1 jest pierwiastkiem. Możesz też próbować rozkładu wielomianu na czynniki, wybierz co wolisz.
  Istnieje wprawdzie "systematyczna" metoda rozwiązywania równań stopnia 3 i 4, ale o ile wiem nie uczy się jej w średniej szkole. A równań stopnia większego od 4 w ogóle nie da się "systematycznie" rozwiązać, jest na to ścisły dowód.
  
  a) Metoda "prób i błędów" z podzielnikami liczby 8 daje x1 = MINUS 4.
  Dzielisz wielomian przez x PLUS 4 (wiesz, dlaczego?) i dostajesz:
  
  x^3 + 4x^2 - 2x - 8 = (x + 4)(x^2 - 2)
  
  Drugi nawias też daje się rozłożyć [ ze wzoru (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 ] i masz:
  x1 = -4; x2 = +pierwiastek(2); x3 = -pierwiastek(2)
  ===============
  
  b) Znajdujesz x1 = 3 przez zgadywanie.
  x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = (x - 3)(x^2 + 4)
  Drugi nawias nie ma w liczbach rzeczywistych miejsc zerowych.
  x1 = 3 to jedyne rozwiązanie.
  ===============
  
  c)
  x1 = 1 (zgadywanie) i okazuje się, że:
  x^5 + 4x^3 - x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)
  Dwa nawiasy od prawej strony nie mają miejsc zerowych.
  Tak przy okazji uwaga: Równanie NIEparzystego stopnia MUSI mieć co najmniej jedno rozwiązanie, natomiast równanie stopnia parzystego może ich nie mieć. Maksymalna ilość rozwiązań jest równa stopniowi równania (to się nazywa "wielkie twierdzenie algebry").
  Spróbuj narysować wykresy wielomianów f(x) gdzie x ma różne potęgi, to zobaczysz dlaczego tak jest.
  ===============
  
  d)
  Zgadywanka daje x1 = 2; x2 = -2
  i po podzieleniu wielomianu przez x^2 - 4 zostaje 3x + 5 więc x3 = -5/3
  ===============
  
  e)
  Zgadywanka: x1 = -1; x2 = -2.
  Zostaje z dzielenia: 2x + 1 czyli x3 = -1/2.
  ===============
  
  f)
  Identycznie: x1 = 3; x2 = -1; x3 = 1/3
  ===============
  
  g)
  Identycznie: x1 = 4; x2 = -1; x3 = 1/4
  ===============
  
  h)
  Identycznie: x1 = 1; x2 = -5; x3 = -1/5
  ===============
  Przepraszam, że nie piszę szczegółowo jak się wielomiany dzieli, ale to przecież już umiesz, a ja i tak robię to programem, jest w sieci darmowa "Maxima".

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie