Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.11.2012 (09:06)

  Najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) i największy wspólny dzielnik (NWD) znajdujesz tak, jak na liczbach. Na przykład 32 i 60. Rozkładasz na czynniki:
  32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
  60 = 2 * 2 * 3 * 5
  NWD: jest iloczynem powtarzających się liczb, tutaj: dwie dwójki, NWD to 4.
  NWW: jest iloczynem NIE powtarzających się liczb (2,2,2,3,5) i JEDNOKROTNIE wziętych powtarzających się czyli (2,2). NWW = (2 * 2 * 2 * 3 * 5) * (2 * 2) = 480
  Jest to najmniejsza możliwa liczba, która bez reszty dzieli się przez 60 i 32.
  
  Dokładnie to samo robisz z wielomianami. Patrz dalej, o rozkładzie wielomianu już Ci pisałem, metody są różne, tutaj tylko podaję wyniki:
  
  Zadanie 3.72
  a)
  x^2 - 1 = (x - 1)(x+1)
  x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1)
  x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)
  x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
  
  We wszystkich rozkładach powtarza się x^2 + 1, bierzemy to 1 raz (jak 2,2 powyżej). Pozostałe czynniki, x -1, x + 1 też bierzemy jednokrotnie (tak, jak 3,5,2,2,2 powyżej). Dostajemy wynik:
  
  W(x) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)
  
  Zauważ, żę W(x) podzieli się bez reszty przez każdy z wielomianów w zadaniu, a jednocześnie ma najmniejszą możliwą potęgę 'x' - gdybym zabrał któryś z nawiasów, przestałoby się dzielić.
  Aby dokończyć zadanie trzeba (??) wymnożyć nawiasy:
  W(x) = x^4 - 1
  =========================
  
  b)
  x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 3)(x - 2)(x - 1)
  x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 4)(x - 3)(x - 2)
  x^3 - 8x^2 + 19x - 12 = (x - 4)(x - 3)(x - 1)
  
  Rozkład na czynniki to katorga - jak się domyślasz użyłem programu :)
  Powtarzają się: x - 3. Nie powtarzają się: x - 1, x - 2, x - 4.
  
  W(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 2)(x - 4) ; W(x) dzieli się bez reszty przez każdy wielomian itd...
  
  W(x) = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24
  =========================
  
  c)
  x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
  x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
  x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)
  
  Fajne! NIC się nie powtarza trzy razy, więc mnożymy:
  W(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)
  Na piechotę - pierwsze dwa nawiasy dają x^2 - 1, drugie dwa masz powyżej...
  W(x) = x^6 - 1
  =========================
  
  d)
  x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3 --- zauważanka :)
  x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 --- tu też
  x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
  x^4 - 81 = (x + 3)(x - 3)(x^2 + 9)
  Powtarza się tylko x + 3.
  UWAGA! Trzeba użyć 3 razy x + 3, bo W(x) musi dzielić się przez pierwszy wielomian.
  Te dwa pozostałe x + 3 traktujesz jako niepowtarzające się
  W(x) = (x + 3)^3 * (x - 3) * (x^2 + 9)
  W(x) = x^6 + 6x&5 + 9x^4 - 81x^2 - 486x - 729
  =========================
  
  Zadanie 3.73 d)
  x^5 - x^4 + 324x - 324 = (x - 1)(x^2 - 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) (upierdliwe)
  x^3 - 5x^2 + 12x + 18 = (x + 1)(x^2 - 6x + 18) (też niemiłe)
  
  Powtarza się tylko W(x) = x^2 - 6x + 18 i to jest NWD.
  =========================
  
  Bez sensu was katują tymi wielomianami, wystarczy złapać ideę, po co rozwiązywać liczbowe przykłady?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie