Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 23.11.2012 (08:53)

  Dane:
  h = 0,4 m - wysokość płyty
  L = 0,8 m - szerokość płyty (duże L, bo małe L myli się z cyfrą 1).
  m = 4 kg - masa płyty
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie
  
  Szukamy przyspieszenia kątowego w chwili początkowej
  
  W pierwszej chwili siła ciężkości działająca na środek masy płyty jest równoległa do pionowego boku płyty czyli jej ramię względem osi obrotu ma długość L/2.
  Siła ciężkości jest jedyną siłą, której moment względem osi obrotu jest niezerowy gdyż siła reakcji drugiego stworznia jest przyłożona do tej osi i ramię tej siły (a więc i jej moment względem osi) jest zerowy.
  
  Siła ciężkości powoduje powstanie momentu M siły:
  
  M = mg\frac{L}{2}
  
  Oznaczmy "I" (duża litera i) moment bezwładności płyty względem jej rogu. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego moment M wywołuje przyspieszenie kątowe epsilon równe:
  
  M = I\varepsilon\qquad\mbox{zatem}\qquad \varepsilon = \frac{M}{I}
  
  To jest rozwiązanie zadania, trzeba tylko podstawić 'M' z pierwszego wzoru oraz moment bezwładności 'I'.
  Z tablic (albo z własnych obliczeń) wiemy, że moment bezwładności prostokąta o wymiarach L na h, masie m, gdy oś obrotu jest prostopadła do powierzchni prostokąta wynosi:
  
  I_0 = \frac{1}{12}m(h^2+L^2)
  
  Ale to jest moment I0 względem środka prostokąta. Aby znaleźć moment względem rogu korzystamy z tw. Steinera i tw. Pitagorasa. Poniżej 'd' oznacza połowę przekątnej płyty.
  
  I = I_0 + md^2 = I_0+m\left(\frac{h^2}{4}+\frac{L^2}{4}\right) =
  
  = \frac{1}{12}m(h^2+L^2)+m\left(\frac{h^2}{4}+\frac{L^2}{4}\right) = \frac{1}{3}m(h^2+L^2)
  
  Wstawiamy 'I', 'M' do wzoru na epsilon
  
  \varepsilon = \frac{ mg\frac{L}{2}}{\frac{1}{3}m(h^2+L^2)} = \frac{3gL}{2(h^2+L^2)}
  
  Wymiar wyniku to (m/s^2) / m = 1/s^2, prawidłowy (pamiętaj, że radian, użyty poniżej, jest bezwymiarowy i ta jedynka w wymiarze 1/s^2 to tak naprawdę radian/s^2).
  
  Wstawiamy dane:
  
  \varepsilon = \frac{3\cdot 10 \cdot 0{,}8}{2\cdot(0{,}4^2+0{,}8^2)} = 15\,\mbox{rad/s}^2

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie