Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 22.11.2012 (09:01)

  Dane:
  Mz = 6 * 10^24 kg - masa Ziemi, czytaj ^2 jako "do kwadratu"
  Mk = 7,3 * 10^22 kg - masa Księżyca
  d = 400000 km - odległość ŚRODKA Ziemi od ŚRODKA Księżyca.
  
  Szukamy x - odległość punktu równowagi od ŚRODKA Ziemi.
  
  Niech m - masa rakiety, G - stała grawitacyjna.
  Równowaga oznacza jednakowe wartości sił przyciągania i przeciwne zwroty wektorów tych sił. Dostajemy równanie:
  
  \frac{GM_zm}{x^2} = \frac{GM_km}{(d-x)^2}
  
  Skracamy G, m, mnożymy proporcję "na krzyż". Następnie wymnażamy (d - x)^2
  
  M_z(d-x)^2 = M_kx^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad (M_z-M_k)x^2-2M_z d x + M_z d^2 = 0
  
  Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe
  delta = 4Mz^2 d^2 - 4(Mz - Mk)Mz d^2 = 4Mz Mk d^2
  pierwiastek(delta) = 2d * pierwiastek(Mz Mk)
  
  Poniżej przez s oznaczamy stosunek: s = Mk/Mz
  
  x_1 = \frac{2dM_z - 2d\sqrt{M_zM_k}}{2(M_z-M_k)} = d\frac{1-\sqrt{\frac{M_k}{M_z}}}{1-\frac{M_k}{M_z}} =
  
  =d\frac{1-\sqrt{s}}{1-s} = d\frac{1-\sqrt{s}}{(1+\sqrt{s})(1-\sqrt{s})} = \frac{d}{1+\sqrt{s}}
  
  x_2= \frac{2dM_z - 2d\sqrt{M_zM_k}}{2(M_z-M_k)} = d\frac{1-\sqrt{\frac{M_k}{M_z}}}{1-\frac{M_k}{M_z}} =
  
  =d\frac{1+\sqrt{s}}{1-s} = d\frac{1+\sqrt{s}}{(1+\sqrt{s})(1-\sqrt{s})} = \frac{d}{1-\sqrt{s}}
  
  Rozwiązania przedstawione są w postaci jak wyżej aby
  a) pokazać, że wymiarem wyniku są kilometry, tak, jak d
  b) podkreślić stosunek mas Księżyca do Ziemi. Zauważ, że gdyby Mk = 0, czyli s = 0, to x = d, czyli punkt równowagi leży w środku Księżyca. Patrz też dyskusja na końcu zadania
  
  Podstawiamy dane. Najpierw obliczmy stosunek s = Mk/Mz
  
  s = Mk / Mz = 7,3 * 10^22 / (6 * 10^24) = około 0,0122
  
  x_1 = \frac{400000}{1+\sqrt{0{,}0122}}\,\approx\,360000\,\mbox{km}\qquad x_2 =\frac{400000}{1-\sqrt{0{,}0122}}\,\approx\,450000\,\mbox{km}
  
  Odpowiedzią da zadania jest x1 = 360000 km.
  Drugie rozwiązanie oznacza odległość od środka Ziemi do punktu po drugiej stronie Księżyca niż Ziemia. Tam też wartości sił przyciągania są równe, ale zwroty tych sił są zgodne, nie jest więc to punkt równowagi.
  
  Zastanówmy się jeszcze (choć to nie należy do zadania) co się dzieje, gdy masa Księżyca staje się porównywalna do masy Ziemi. Drugie rozwiązanie daje wtedy nieskończoność, natomiast pierwsze, gdy s = 1, daje 1/2.
  Gdy masy stają się równe punkt równowagi leży w połowie odległości między nimi, co jest zrozumiałe.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie