Treść zadania

aga1691

Zbiory A i B są zawarte w przestrzeni liniwej L
A,B\subset L
A+B=\lbrace a+b :a\in A , b\in B\rbrace
\alpha A= \lbrace \alpha a : a\in A\rbrace

U i V -wypukłe
Udowodnij, że:
1Zbiór U+V jest wypukły
2.U=\lambda U+(1-\lambda) U ,\lambda\in [0,1]
3.(\alpha+\beta)U=\alpha U +\beta U , \alpha,\beta\ge 0
4..U_j-wypukłe => \lim_{j\to\infty}inf U_j=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{j\ge n}^{\infty} U_j - jest wypukły

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Najlepsze rozwiązanie

  • 1 0

    1.
    Z definicji:
    x1, x2 ze zbioru U + V da się zapisać jako: u1 + v1 oraz u2 + v2 gdzie
    u1, u2, u3 są z U oraz v1, v2, v3 są z V.

    Dla lambda z przedziału [0,1]) wyrażenie:

    \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 = [\lambda u_1 + (1-\lambda)u_2] + [\lambda v_1 + (1-\lambda)v_2] = u_3 + v_3

    jest elementem U + V na mocy definicji operacji "+" podanej w zadaniu oraz liniowości U, V.

    2. Analogicznie, używając podanej definicji alfa * A

    3. Analogicznie, używając podanej definicji alfa * A oraz definicji "+".

    4.
    Zobaczmy dla skończonej ilości N zbiorów wypukłych jak działa podana suma przecięć.
    Na przykład dla N = 3

    W_3 = \bigcup\limits_{n=1}^3\bigcap\limits_{j\geqslant n}^3 U_j= (U_1\cap U_2\cap U_3)\cup (U_2\cap U_3)\cup (U_3)
    ale

    (U_1\cap U_2\cap U_3)\subset (U_2\cap U_3)\subset (U_3)

    więc w rezultacie W_3 = U_3, czyli W_3 jest wypukły

    Teraz przez indukcję. Dla N = 1 mamy 1 zbiór wypukły, który jest wypukły. :)
    Załóżmy, że dla N zbiorów podana suma przecięć jest równa N-temu zbiorowi, czyli jest wypukła.

    Dla N + 1 zbiorów mamy:

    W_{N+1}=\bigcup\limits_{n=1}^{N+1}\bigcap\limits_{j\geq n}^{N+1} U_j=\bigcup\limits_{n=1}^N\bigcap\limits_{j\geq n}^{N+1} U_j \,\,\,\cup\, \bigcap\limits_{j\geq N+1}^{N+1} U_j = U_{N+1}\cup U_{N+1} = U_{N+1}

    czyli jeśli W_N = U_N to W_{N+1}=U_{N+1}, czyli jest wypukły.
    Mam nadzieję, że ten dowód można rozciągnąć na nieskończoną ilość zbiorów?

Rozwiązania

Podobne zadania

Dariusz29 wyznacz sumy i narysuj te zbiory Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: Dariusz29 3.10.2010 (12:36)
Dariusz29 Dane są zbiory A{-2,7,8,4,5} B{0,2,7,5,3} wykonaj: AuB AnB A/B B/A Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: Dariusz29 12.10.2010 (11:17)
Dariusz29 Dane są zbiory :A=<-7,5) B=( - nieskończoności ,0> zaznacz je na osi Przedmiot: Matematyka / Studia 2 rozwiązania autor: Dariusz29 12.10.2010 (11:27)
andzia2323 dane sa zbiory; B={0,4√9} b) A \ B Znajdz zbiory Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: andzia2323 17.10.2010 (21:05)
~Dariusz Michalak Dane są zbiory: A ={2,3,5,8} oraz B={x:xN  0 <x8}.Wyznacz Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: ~Dariusz Michalak 5.11.2011 (18:20)

Podobne materiały

Przydatność 75% Zbiory bawełny na świecie

SPIS TREŚCI WSTĘP 1. RÓŻNORODNOŚĆ WYKORZYSTANIA 2. ZRÓŻNICOWANIE GATUNKÓW 3. WARUNKI UPRAWY 4. CYKL PRODUKCYJNY 5. NAJWIĘKSI PRODUCENCI BAWEŁNY NA ŚWIECIE 6. EKSPORT 7. MAPA ILUSTRUJĄCA ZBIORY BAWEŁNY NA ŚWIECIE 8. POWIERZCHNIA I ZBIORY ZIARNA BAWEŁNY 9. PLONY ZIARNA BAWEŁNY 10. POWIERZCHNIA I ZBIORY WŁÓKNA BAWEŁNY 11. PLONY WŁÓKNA BAWEŁNY 12....

Przydatność 100% Chów i zbiory

Chów- to zapewnienie zwierzętom hodowlanym prawidłowych warunków bytowania, rozwoju i rozrodu, dzięki którym możliwy jest pełny rozwój pożądanych cech. Nomadyzm-pasterstwo koczownicze-pasterz przemieszcza się ze stadem z miejsca na miejsce w poszukiwaniu pożywienia Rybactwo- zajęcie polegające na hodowli i połowie ryb, raków, krabów, oraz innych owoców morza. Rybactwem...

Przydatność 70% Kształtowanie rolniczej przestrzeni produkcji

Stworzenie warunków do trwałego rozwoju rolnictwa – jednego z najważniejszych działów gospodarki kraju – wymaga poszukiwania nowych metod pobudzania i sterowania procesami przemian agrarnych oraz zmiany struktury przestrzennej rolnictwa. Wprowadzenie tych zmian musi być jednak wsparte zmianą sposobu myślenia i wielu norm prawnych. Na pierwszy plan wysuwa się tu konieczność...

Przydatność 85% Arkadyjskość przestrzeni nadniemeńskiej.

Adam Mickiewicz i Eliza Orzeszkowa, nasz wieszcz narodowy i jedna z najznakomitszych polskich pisarek, żyli w dwóch różnych epokach- romantyzmie i pozytywizmie, wyznawali różne wartości, jednak jest coś, co ich łączy- ich najsłynniejsze utwory, czyli „Pan Tadeusz” i „Nad Niemnem” przesycone są opisami przyrody. I nie są to zwykłe obrazy, spełniające rolę tła akcji-...

Przydatność 100% Muzyka na przestrzeni wieków

Muzyka na przestrzeni wieków Średniowiecze Kościoły, katedry i klasztory były ośrodkami nauki i sztuki, a zwłaszcza kultury muzycznej. Średniowiecze to okres rozwoju muzyki religijnej. Papież Grzegorz Wielki polecił dokonać wyboru utworów wykonywanych podczas nabożeństw i zebrać je w tzw. Antyfonarz. Muzykę n nim zawartą nazywamy chorałem gregoriańskim. Śpiew w języku...

0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji