Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 24.10.2012 (21:40)

  1a)
  Pierwszy wyraz ciągu to a1 = pierwiastek(2), a iloraz q = -pierwiastek(2).
  Pozostaje obliczyć, którym wyrazem ciągu jest -16.
  Załóżmy na chwilę, że iloraz ciągu to plus pierwiastek(2). Mamy wtedy:
  
  16 = \sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}\,)^{n-1}
  
  stąd:
  
  \frac{16}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2}\,)^{n-1}
  
  Ponieważ 16 = (\sqrt{2}\,)^8 to n - 1 = 7 więc n = 8 Sprawdzamy:
  
  a_{13} = \sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2}\,)^{8-1} = -16
  
  Liczymy sumę ze wzoru:
  
  S_n = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1} = \sqrt{2}\cdot\frac{(-\sqrt{2}\,)^8-1}{-\sqrt{2} - 1} =
  
  = -\sqrt{2}\,\frac{16-1}{\sqrt{2}+1} = -\sqrt{2}\,\frac{15\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = -30 + 15\sqrt{2}
  
  -----------------------
  
  2a)
  a_n = a_1\,q^{n-1} = 4^{n-1} = 4^{11} = 4194304
  
  S_n = S_n = a_n\,\frac{q^n - 1}{q - 1}=\frac{1}{3}\,(4^n-1) = \frac{1}{3}\cdot (4^{12}-1) = 5592405
  
  2b)
  a_8 = 2 = a_1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-1}\qquad\mbox{zatem}\qquad a_1 = 256
  
  S_n = 256\,\frac{1-(1/2)^n}{1 - 1/2} = 512\,[1 - (1/2)^n] = 512\cdot [1-(1/2)^8] = 510
  
  2c)
  \frac{a_7}{a_1} = \frac{1458}{2} = q^6 \qquad\mbox{zatem}\qquad q = \sqrt[6]{729} = 3
  
  S_n = 2\,\frac{3^n-1}{2} = 3^n - 1 = 3^7 - 1 = 2186

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie