Zamieniamy kosinus na sinus z "jedynki" trygonometrycznej",
podstawiamy t = sin x, dostajemy:
2(1 - sin^2(x) + sin(x) < 1 i dalej: -2t^2 + t + 1 < 0
Ostatnie wyrażenie przedstawia parabolę w kształcie odwróconego "U".
Miejsca zerowe równania -2t^2 + t + 1 = 0 to:
t1 = -1/2 ; t2 = 1.
Zakresem, w którym nierówność jest prawdziwa jest suma przedziałów:
(-oo, -1/2) U (1, +oo)
Pamiętajmy, t = sin x, więc musi być -1 <= t <= 1.
Wobec tego cały przedział (1, +oo) trzeba odrzucić, a z pierwszego przedziału zostaje:
< -1, -1/2)
Jak się porówna zakres t z wykresem sinusa okazuje się, że odpowiada to
w przedziale <0, 2pi> kątom od (4/3) pi do (5/3) pi.
Uwzględniając, że identyczne wartości sinusa będą powtarzać się co 2k*pi mamy:
lub
zarejestruj nowe konto.
1 0
antekL1 21.10.2012 (02:55)
Zamieniamy kosinus na sinus z "jedynki" trygonometrycznej",
podstawiamy t = sin x, dostajemy:
2(1 - sin^2(x) + sin(x) < 1 i dalej: -2t^2 + t + 1 < 0
Ostatnie wyrażenie przedstawia parabolę w kształcie odwróconego "U".
Miejsca zerowe równania -2t^2 + t + 1 = 0 to:
t1 = -1/2 ; t2 = 1.
Zakresem, w którym nierówność jest prawdziwa jest suma przedziałów:
(-oo, -1/2) U (1, +oo)
Pamiętajmy, t = sin x, więc musi być -1 <= t <= 1.
Wobec tego cały przedział (1, +oo) trzeba odrzucić, a z pierwszego przedziału zostaje:
< -1, -1/2)
Jak się porówna zakres t z wykresem sinusa okazuje się, że odpowiada to
w przedziale <0, 2pi> kątom od (4/3) pi do (5/3) pi.
Uwzględniając, że identyczne wartości sinusa będą powtarzać się co 2k*pi mamy:
x\in \left(\frac{4}{3}\pi + 2k\pi; \frac{5}{3}\pi + 2k\pi\right)\qquad\mbox{gdzie}\qquad k = 0,\pm 1,\pm 2,...
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie