Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 21.10.2012 (02:48)

  Zad. 1.
  Z III prawa Keplera:
  Stosunek kwadratów czasów obiegu do sześcianów promieni orbit jest stały dla wszystkich planet.
  Oznaczmy Tp - okres obiegu planety Rp - promień jej orbity, Tz, Rz - to samo dla Ziemi. Wtedy:
  
  \frac{T_p^2}{T_z^2} = \frac{R_p^3}{R_z^3}\qquad\mbox{zatem}\qquad T_p = T_z\sqrt{\frac{R_p^3}{R_z^3}} = 1\cdot\sqrt{(5{,}2)^3}\,\approx\,11{,}8578\,\mbox{lat}
  
  11,85789 lat = 11,8578 * 365,25 = około 4331 dni.
  ------------------
  
  Zad. 2.
  Dane:
  R = 6,4 * 10^5 m - promień planety
  v = 7,9 km/s = 7900 m/s - pierwsza prędkośc kosmiczna
  G = 6,67 * 10^(-11) N * m^2 / kg^2 - stała grawitacyjna
  
  M - masa planety, do obliczenia.
  
  Ze wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną 'v'.
  
  v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \qquad\mbox{zatem}\qquad M = \frac{v^2R}{G}
  
  Sprawdzamy wymiar wyniku:
  
  [ M ] = (m/s)^2 * m / [N * m^2 / kg^2 ] = m^2 * m * kg^2 / (s^2 * kg * m^2 * m/s^2) = kg
  
  Podstawiamy dane (prędkość v trzeba zamienić na m/s)
  
  M = \frac{7900^2\cdot 6{,}4\cdot 10^5}{6{,}67\cdot 10^{-11}}\,\approx\,6\cdot 10^{23}\,\mbox{kg}
  
  ------------------
  
  Zad. 3.
  Dane:
  m = 0,8t = 800 kg - masa satelity
  h = 600 km = 600000 m - wysokość
  R = 6400 km = 6400000 m - promień Ziemi
  g = 10 m/s^2 - stała grawitacyjna.
  
  W przybliżeniu mozna policzyć tą pracę jako
  W = mgh = 800 * 600000 * 10 = 4,8 * 10^9 J
  
  Ale w zadaniu chodzi prawdopodobnie o uwzględnienie malejącej z wysokością grawitacji, Wtedy pracę liczymy jako iloczyn masy satelity i różnicy potencjałów grawitacyjnych na powierzchni Ziemi (czyli w odległości R od środka Ziemi) i na wysokości h czyli w odległości R + h od środka Ziemi.
  
  W = m\,\left(\frac{-GM}{R+h}-\frac{-GM}{R}\right) = m\,\left(\frac{GM}{R}-\frac{GM}{R+h}\right)
  
  Nie musimy znać G ani M (stałej grawitacyjnej i masy Ziemi, gdyż przyspieszenie grawitacyjne g na powierzchni Ziemi wyraża się wzorem:
  
  g = \frac{GM}{R^2} \qquad\mbox{zatem}\qquad GM = gR^2
  
  Wstawiamy GM do poprzedniego wzoru, wyciągamy przed nawias gR^2
  
  W = mgR^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}
  
  Jeszcze zanim podstawimy dane zauważ, że, po sprowadzeniu do wspólnego mianownika dostaniemy:
  
  W = mgR^2\cdot\frac{R+h-R}{R(R+h)} = mgh\,\frac{R}{R+h}
  
  gdy h jest małe w porównaniu z R dostajemy "zwykły" wzór W=mgh.
  
  Wstawiamy dane do ostatniego ze wzorów, masę wyrażamy w kg, odleglości w metrach. Zostało to zrobione w danych do zadania.
  
  W = 800\cdot 10\cdot 600000\cdot\frac{6400000}{6400000+600000}\,\approx\,4{,}39\cdot 10^9\,\mbox{J}
  
  Jak widać poprawka (4,39 zamiast 4,8) jest rzędu 8%, czyli metoda W=mgh zawodzi już przy takich wysokościach.
  -------------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie