Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.10.2012 (10:19)

  a) Nie istnieje.
  Jeśli dążymy do (0,0) po prostej y = 0 cale wyrażenie przechodzi w 0.
  Jeśli dążymy do (0,0) po prostej y = x cale wyrażenie przechodzi w 1/2.
  -------------------
  
  Analogicznie f) nie istnieje.
  Jeśli dążymy do (0,0) po prostej y = 0 cale wyrażenie przechodzi w 1.
  Jeśli dążymy do (0,0) po prostej y = x cale wyrażenie przechodzi w 0.
  ------------------
  
  e) Podstawiamy współrzędne biegunowe (r, alfa) i dostajemy:
  
  \frac{r^2\cos^2\alpha\cdot r^3\sin^3\alpha}{r^4\sin^4\alpha + r^4\cos^4\alpha} = r\,\frac{\cos^2\alpha\sin^3\alpha}{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha}
  
  Wyrażenie w ułamku jest skończone (mianownik nigdy nie jest zerem) więc dla dowolnego kąta alfa gdy r dąży do zera całość dąży do zera. Granicą jest 0.
  ----------------------------------
  
  c) Najpierw podstawiamy x = u + 1, y = w + 1 i wyrażenie przechodzi w:
  
  \lim\limits_{(u,w)\rightarrow (0,0)}\frac{u + w}{u^2 + w^2 +2u + 2w}
  
  Teraz podstawiamy u = w t, wyrażenie przechodzi w:
  
  \lim\limits_{w \rightarrow 0} \frac{1 + t}{w t^2 + w + 2t + 2}
  
  Gdy w dąży do zera powyższe wyrażenie dąży do (1 + t) / [ 2 (1 + t) ] = 1 / 2
  Jest tu jeden niuans: Podstawienie u = w t nie obejmuje wszystkich możliwych prostych po których schodzimy do (0,0). Zostaje linia w = 0. Ale gdy podstawimy w = 0 do wyrażenia na granicę f(u,w) zostaje:
  
  u / (2u + u^2) = 1 / (2 + u) co także dąży do 1/2. Granicą jest 1/2
  ------------------
  
  Zamieść proszę (b) i (d) ponownie, ten tekst staje się za długi :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie