Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 28.9.2012 (05:33)

  1.
  Jeśli czworokąt opisany jest na okręgu to sumy długości przeciwległych boków są równe. Wobec tego suma długości podstaw a + b = 52 / 2 = 26.
  Odcinek łączący środki ramion jest średnią arytmetyczną długości podstaw czyli jest równy (a+b) / 2 = 26 / 2 = 13 cm.
  
  2.
  Policzymy długości podstaw.
  Zrób rysunek. Narysuj ten trapez, dłuższa podstawa to AB, krótsza CD, środek okręgu to O. Wysokość trapezu to 2 promienie okręgu wpisanego, 2 * 4 = 8 cm. Narysuj wysokość z punktu C do podstawy AB. Przecina ona podstawę w punkcie D. Trójkąt DBC jest prostokątny, z tw. Pitagorasa mamy:
  DB = pierwiastek(10^2 - 8^2) = pierwiastek(36) = 6.
  Teraz zauważ, że:
  DB = (AB - CD) / 2 oraz, z twierdzenia z zadania 1, AB + CD = 10 + 10 = 20
  Mamy 2 równania:
  AB - CD = 12
  AB + CD = 20
  --------------------- odejmujemy stronami, dzielimy na 2.
  AB = 16 cm (i przy okazji CD = 20 - 16 = 4 cm)
  Teraz dorysuj z punktu O prostopadłe do boków AB i BC. Przecięcia z bokami to punkty E (z bokiem AB) i F (z bokiem BC). Trójkąt EOB jest prostokątny, OE = 4, EB = 8, z tw. Pitagorasa mamy:
  OB = pierwiastek(4^2+8^2) = 4 * pierwiastek(5).
  Dalej: Trójkąt BFO jest prostokątny, OB znamy, OF = 4, z tw. Pitagorasa mamy:
  FB = pierwiastek [ (4 * pierwiastek(5))^2 - 4^2 ] = 8.
  Wobec tego FC = 10 - 8 = 2.
  Wiemy już wszystko.
  Większa część = AB + 2 * BF = 16 + 2 * 8 = 32
  Mniejsza część = CD + 2 * FC = 4 + 2 * 2 = 8.
  Stosunek długości części, dłuższa : krótsza = 32 : 8 = 4.
  
  3.
  Zrób rysunek. Oznacz boki prostokąta jako 2a i 2b (specjalnie 2a, 2b, aby się łatwiej liczyło). Zauważ, że bok wpisanego w prostokąt czworokąta to:
  pierwiastek(a^2 + b^2)
  Jednocześnie przekątna prostokąta równa:
  pierwiastek [ (2a)^2 + (2b)^2 ] = 2 * pierwiastek(a^2 + b^2)
  jest podwojonym promieniem opisanego okręgu.
  Wobec tego
  pierwiastek(a^2 + b^2) = 10, a cały szukany obwód = 40 cm

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie