Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.9.2012 (10:48)

  Ciąg a_n.
  Zamiast liczyć granicę a_n policzmy granicę logarytmu z a_n. Ponieważ dla n > 1 wyrazy ciągu są dodatnie, a logarytm jest funkcją ciągłą takie postępowanie jest uzasadnione. Czyli mamy do policzenia:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln\frac{n^3-n^2}{n^3+n^2}}{\frac{1}{n^2}}
  
  Dla dużych n licznik dąży do ln(1) = 0, mianownik też. Licznik i mianownik są ciągłe, można stosować d'Hospitala. Po zróżniczkowaniu osobno licznika i mianownika (uwierz mi, że tyle wychodzi, stosuję program do obliczeń symbolicznych) dostajemy:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{n^2-1}}{-\frac{2}{n^3}} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{-n^3}{n^2-1} = -\infty
  
  Skoro ln(a_n) --> -oo to a_n --> 0
  ------------------------
  
  ciąg b_n.
  Wymnażamy nawias w środku i wyciągamy 4^n przed pierwiastek, co daje na b_n wyrażenie:
  
  b_n = \sqrt[n]{4^n}\,\cdot\,\sqrt[n]{\frac{1}{4^n} + 1 + \frac{2^n}{4^n} + 27\cdot\frac{3^n}{4^n}}
  
  Ułamki pod pierwiastkiem dążą do zera, cały pierwiastek do 1, a przed pierwiastkiem jest 4.
  
  b_n ---> 4

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie