Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 20.9.2012 (11:04)

  2.89
  W tego typu równaniach izolujemy jeden z pierwiastków po jednej stronie, dwa pozostałe po drugiej (przykłady w zadaniu są już w takiej postaci). Następnie podnosimy obie strony do kwadratu. Eliminuje to jeden z pierwiastków, ale zostawia po drugiej stronie iloczyn pierwiastków. Ten iloczyn ponownie izolujemy po jednej ze stron i podnosimy drugi raz obie strony do kwadratu.
  Koniecznie trzeba sprawdzić otrzymane rozwiązania, gdyż dwukrotne podnoszenie do kwadratu dodaje nowe pierwiastki. Poza tym warto określić dziedzinę.
  
  a)
  Dziedzina: 3x + 4 >= 0 oraz x - 4 >=0 oraz x >= 0.
  Najmocniejszy z tych warunków to x-4 >= 0 więc x >= 4
  
  Pierwsze podnoszenie do kwadratu:
  
  \left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}\right)^2 = \left(2\sqrt{x}\right)^2
  
  co daje:
  
  3x+4+2\,\sqrt{(3x+4)(x-4)} + x-4 = 4x
  
  Separujemy wyrażenie z pierwiastkiem. Akurat w tym przykładzie wychodzi elegancko:
  
  2\,\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 0
  
  Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zerem dla x1 = -4/3 oraz x2 = 4.
  Ale x = -4/3 nie należy do dziedziny (bo np. wtedy mamy liczbę ujemną pod pierwiastek(x), odrzucamy to rozwiązanie. Sprawdzamy dla x = 4:
  
  L = \sqrt{3\cdot 4+4}+\sqrt{4-4} = \sqrt{16} = 4\qquad\mbox{oraz}\qquad P = 2\sqrt{4} = 4
  
  Zgadza się, jest to poprawne rozwiązanie. Odpowiedź: x = 4
  ----------------------------------
  
  b)
  Dziedzina: 15 - x >= 0 oraz 3 - x >= 0.
  Silniejszy warunek to 3 - x >= 0 czyli x <= 3
  Pierwsze podnoszenie do kwadratu daje:
  
  15-x+2\,\sqrt{(15-x)(3-x)} + 3 - x = 36
  
  Separujemy pierwiastek i podnosimy do kwadratu obie strony:
  
  \left(2\,\sqrt{(15-x)(3-x)}\right)^2 = (18+2x)^2
  
  Po wymnożeniu nawiasów, podzieleniu przez 144 i uporządkowaniu:
  
  x + 1 = 0 czyli x = -1
  
  Sprawdzamy dla x = -1
  
  \sqrt{15-(-1)}+\sqrt{3-(-1)} = \sqrt{16}+\sqrt{4} = 6
  
  Zgadza się. x = -1 jest poprawną odpowiedzią i należy do dziedziny.
  --------------------
  
  c)
  Dziedzina: 3x + 7 >= 0 oraz x + 1 >= 0.
  Silniejszy warunek to x + 1>= 0 czyli x >= -1
  Pierwsze podnoszenie do kwadratu daje:
  
  3x+7 -2\,\sqrt{(3x+7)(x+1)} + x + 1 = 4
  
  Separujemy pierwiastek i podnosimy do kwadratu obie strony:
  
  (4+4x)^2 = \left(2\,\sqrt{(3x+7)(x+1)}\right)^2
  
  Daje to:
  
  16(1 + 2x + x^2) = 4(3x+7)(x+1)
  
  Po wymnożeniu nawiasów, podzieleniu przez 4 i uporządkowaniu:
  
  x^2 -2x -3 = 0 ; stosujemy metodę z zadania 2.86
  
  -2 = -3 + 1 oraz -3 = (-3) * 1 więc
  
  x^2 -2x -3 = (x - 3)(x + 1) = 0
  
  Daje to x1 = -1, x2 = 3. Oba rozwiązania należą do dziedziny. Sprawdzamy:
  Dla x = -1 lewa strona wynosi:
  
  \sqrt{3\cdot(-1)+7}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{4} = 2
  
  Dla x = 3 lewa strona wynosi:
  
  \sqrt{3\cdot 3+7}-\sqrt{3+1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 6
  
  Odpowiedź: Jak widać jedyne poprawne rozwiązanie to x = -1.
  --------------------------
  
  d)
  Dziedzina:
  x + 1 >=0 praz 9 - x >= 0 oraz 2x - 12 >= 0
  Warunki te oznaczają że x należy do przedziału [6, 9]
  Pierwsze podnoszenie do kwadratu daje:
  
  x+1 - 2\,\sqrt{(x+1)(9-x)}+9-x = 2x-12
  
  Separujemy pierwiastek i podnosimy do kwadratu obie strony:
  
  (22-2x)^2 = \left(2\,\sqrt{(x+1)(9-x)}\right)^2
  
  Po wymnożeniu nawiasów, podzieleniu przez 8 i uporządkowaniu:
  
  x^2 - 15x + 56 = 0 ; metoda z zadania 2.86 daje rozkład:
  
  x^2 - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8) więc x1 = 7, x2 = 8.
  
  Sprawdzamy. Dla x = 7 różnica lewej i prawej strony daje:
  
  \sqrt{7+1}-\sqrt{9-7} - \sqrt{2\cdot 7 - 12}= \sqrt{8} - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 0
  
  Poprawne i należy do dziedziny.
  Dla x = 8
  
  \sqrt{8+1}-\sqrt{8-7} - \sqrt{2\cdot 8} - 12}= 3 - 1 - 2 = 0
  
  Poprawne i należy do dziedziny.
  
  Odpowiedź: x1 = 7; x2 = 8
  ----------------------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie