Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 13.9.2012 (14:32)

  Zadanie 26.
  Trójkąt BDF jest równoboczny, oznaczmy jego bok (np. DF) przez "a".
  Promień 'r' koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 'a' wynosi (jak nie wiesz dlaczego, pisz na priv)
  
  r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
  
  Aby znaleźć 'a' narysujmy wysokość trójkąta DEF. Dzieli ona DF na połowy, przy czym stosunek połowy DF do DE to kosinus 30 stopni. Więc:
  
  a = 2\cdot DE\cdot \cos 30{}^\circ = 2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}
  
  Wstawiamy 'a' do wzoru na 'r'
  
  r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3
  
  I koniec. Promień r = 3 cm.
  ==============================
  
  Zadanie 31.
  Zauważ, że do okręgu należy punkt A(4,10) oraz punkt styczności B(4,0). To znaczy, że:
  - środek okręgu leży w połowie AB, ponieważ wsp. X są jednakowe, to środek okręgu leży w O(4,5).
  - promień okręgu wynosi 5.
  Mamy równanie okręgu:
  
  (x-4)^2 + (y-5)^2 = 25
  
  Aby wyznaczyć przecięcia z osią OY podstawiamy x = 0 do równania okręgu:
  
  (0-4)^2 + (y-5)^2 = 25
  
  co daje
  
  (y-5)^2 = 25 - 16 = 9
  
  czyli albo y-5 = 3, albo y - 5 = -3, więc albo y = 8, albo y = 2.
  
  Punkty przecięcia to: (0,2); (0,8)
  =========================
  
  Zadanie 32.
  Z własności ciągu geometrycznego: iloczyn sąsiednich wyrazów jest kwadratem wyrazu środkowego, czyli pierwsze równanie to:
  
  3c = b^2
  
  Z własności ciągu arytmetycznego, niech jego różnica będzie "r" mamy 2 inne równania:
  
  3 + r = b (drugi wyraz = pierwszy + r)
  3 + 4r = c (piąty wyraz = pierwszy + 4r)
  
  Mnożymy pierwsze równanie przez 4 i odejmujemy stronami, eliminując r.
  
  12 + 4r = 4b
  3 + 4r = c
  -----------------
  9 = 4b - c ; stąd c = 4b - 9 ; wstawiamy do pierwszego równania
  
  3 \cdot (4b - 9) = b^2
  
  Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego daje: b1 = 3; b2 = 9
  co prowadzi do c1 = 3; c2 = 27
  
  Rozwiązania: 3, 3, 3 oraz 3, 9, 27
  Pierwsze rozwiązanie to ciąg geometryczny o iloczynie 1 i ciąg arytmetyczny o różnicy 0.
  Drugie rozwiązanie to ciąg geometryczny o iloczynie 3 i ciąg arytmetyczny o różnicy 6.
  Łatwo sprawdzić, że zgadza się to z zadaniem (3 + 4 * 6 = 27)
  ======================
  
  Zadanie 33.
  Można na różne sposoby. Np. tak: Wiemy, że trójkąt PKO jest prostokątny (bo PK jest styczną). Zauważ, że KO/PO = 4/8 = 1/2, więc kąt OPK = 30 stopni, bo sinus 30 stopni = 1/2.
  Wobec tego kąt KOP = 60 stopni, kąt KOL = 120 stopni. Szukane pole trójkąta to:
  
  P = \frac{1}{2}\cdot4^2\cdot\sin\,120{}^\circ = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}
  
  Zwróć uwagę, że wykorzystałem szczególny przypadek w danych zadania. Ale gdyby liczby były inne, to także obliczyłbym sinus kąta KOP i wykorzystałbym wzór na sinus podwojonego kąta (KOL) z tego samego wzoru na pole trójkąta. Tylko więcej trzeba się naliczyć.
  =======================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie