Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.6.2012 (13:26)

  Zadanie 1.
  Załoga statku potrzebuje 4 / 0,5 = 8 lat, przy założeniu, że cały czas porusza się z prędkością 0,5 c. W rzeczywistości czas ten jest większy gdyż rakieta musi się rozpędzić i wyhamować.
  
  Na Ziemi upłynie:
  
  t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{8}{\sqrt{1-0,5^2}}\,\approx\,9{,}24\,\mbox{roku}
  
  =================================
  
  Zadanie 2.
  Oznaczmy:
  t = 12 s - czas w układzie Słońca
  t' = 13 s - czas u układzie rakiety
  v - prędkość rakiety.
  
  a)
  W układzie Słońca wybuchy dzielił czas własny t.
  Z punktu widzenia rakiety to Słońce oddala się (tak jak kosmonauci w zadaniu 1) i załoga rakiety myśli, że upłynął dłuższy czas t' (ich zegarki chodzą szybciej)
  
  t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
  
  Mnożymy obie strony przez mianownik i podnosimy obie strony do kwadratu.
  
  (t')^2\,\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = t^2
  
  Mnożymy przez kwadrat c, dzielimy przez kwadrat t', znajdujemy kwadrat v i wyciągamy pierwiastek. Końcowy wynik:
  
  v = c\,\sqrt{1-\frac{t^2}{(t')^2}} = c\,\sqrt{1-\frac{12^2}{13^2}} \,\approx\,0{,}384\,c
  
  Prędkość v = 0,384 c odpowiada v = 115200 km/s.
  
  b)
  Oznaczmy poza t, t' dodatkowo
  Delta x = 0 - odległość przestrzenna na Słońcu
  Delta x' - odległość przestrzenna w rakiecie. Tego szukamy.
  
  Kwadrat interwału czasoprzestrzennego s musi być zachowany.
  
  s^2 = c^2\,(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 = c^2\,(\Delta t')^2 - (\Delta x')^2
  
  stąd:
  
  \Delta x' = \sqrt{c^2\,(\Delta t')^2 - c^2\,(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2}
  
  Podstawiamy dane:
  
  \Delta x' = \sqrt{(3\cdot 10^8)^2\cdot(13^2-12^2) + 0} = 1{,}5\cdot 10^9 \,\mbox{m}
  
  czyli 1,5 miliona kilometrów.
  
  Światło potrzebuje 5 sekund na przebycie tej odległości. NIE jest to sprzeczne z wynikiem z części (a) gdyż
  rakieta ucieka od Słońca z dużą prędkością i przez czas 12 s zdąży nadrobić sporo kilometrów. Impuls świetlny z drugiego wybuchu goni już bardziej oddaloną rakietę niż impuls z pierwszego wybuchu.
  
  =================================
  
  Zadanie 3.
  Dane:
  mz = 60 kg - masa zimnej wody
  mc = 30 kg - masa ciepłej wody
  tz = 20 C - temp. zimnej wody
  t = 40 C - końcowa temperatura
  Szukane:
  tc - temperatura ciepłej wody
  
  Bilans ciepła (oznaczam 'c' - ciepło właściwe wody)
  Zimna woda ogrzała się od tz do t pobierając ciepło Q
  Ciepła woda ochłodziła się od tc do t oddając ciepło Q.
  Ciepła te są równe bo nie ma strat energii.
  
  c\,m_z\,(t-t_z) = Q = c\,m_c\,(t_c - t)
  
  Z powyższego równania obliczamy tc. Ciepło właściwe c skraca się.
  
  t_c = \frac{m_z\,(t-t_z) + m_c\,t}{m_c} = \frac{60\cdot (40-20) + 30\cdot 40}{30} = 80
  
  Gorąca woda miała temperaturę 80 stopni C.
  
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie