Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.5.2012 (12:30)

  Zadanie 1.
  a)
  Wkład do całki od -oo do x mają jedynie punkty na odcinku [0, 1]. Czyli
  
  F(x) = 0 \qquad\mbox{gdy}\qquad x\in (-\infty,0)
  
  F(x) = \int\limits_0^x 2t\,dt = [t^2]_0^x = x^2\qquad\mbox{gdy}\qquad x\in [0,1]
  
  F(x) = 1 \qquad\mbox{gdy}\qquad x\in (1, +\infty)
  
  
  b)
  Ze wzoru na f(x) wynika, że zmienna losowa przyjmuje wartości od 0 do 2.
  Zatem: P(X <= 3) = 1; P(X < -1) = 0;
  P(-1 <= X <= 3) = P(X <= 3) - P(X < -1) = 2 - 0 = 2
  
  c)
  E(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\,dx = \int\limits_0^1 (x\cdot 2x)\,dx = \int\limits_0^1 2x^2\,dx=\frac{2}{3}
  
  D^2(X) = \int\limits_0^1 \left(x-\frac{2}{3}\right)^2\cdot 2x\,dx = \left[\frac{4x^2}{9}-\frac{8x^3}{9}+\frac{x^4}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{18}
  
  ===========================================
  
  Zadanie 2.
  a) f(x) jest niezerowa jedynie na odcinku [2,6] więc musi zachodzić:
  
  \int\limits_2^6\left(Cx - \frac{1}{4}\right)\,dx = \left[\frac{Cx^2}{2} - \frac{x}{4}\right]_2^6 = 1
  
  Podstawiamy granice całkowania i dostajemy:
  
  \left(18C -\frac{3}{2}\right) - \left(2C -\frac{1}{2}\right) = 1 \qquad\mbox{zatem}\qquadC = \frac{1}{8}
  
  Funkcja f(x) dla odcinka [2,6] ma więc postać: f(x) = x/8 - 1/4.
  Tej funkcji będziemy używać w dalszych częściach zadania.
  b)
  E(X) = \int\limits_2^6\left(\frac{x}{8} - \frac{1}{4}\right)\,x\,dx = \frac{14}{3}
  
  D^2(X) = \int\limits_2^6\left(x-\frac{14}{3}\right)^2\,\left(\frac{x}{8} - \frac{1}{4}\right)\,dx = \frac{8}{9}
  
  c)
  F(x) = 0 \qquad\mbox{gdy}\qquad x\in (-\infty,2)
  
  F(x) = \int\limits_2^x\left(\frac{t}{8}-\frac{1}{4}\right)\,dt = \frac{x^2}{16}-\frac{x}{4}+\frac{1}{4} \qquad\mbox{gdy}\qquad x\in [2,6]
  
  F(x) = 1 \qquad\mbox{gdy}\qquad x\in (6,+\infty)
  
  Wykres: Pozioma prosta F(x) = 0 aż do x = 2, parabola jak wyżej do x = 6 (przechodzi ona przez punkty (2,0) i (6,1)), pozioma prosta F(x) = 1 dla x > 6.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie