Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.5.2012 (15:08)

  Witam, v-d! Znów sesja :)
  
  Task 3a)
  Mamy 2 równania używając: wysokość = h, promień podstawy = r.
  Pierwsze równanie na objętość:
  
  \pi r^2 h = 200
  
  Drugie równanie na pole powierzchni. Jest to suma powierzchni bocznej i podstawy bo góra cylindra ma być otwarta. Minimalizujemy pole P:
  
  P = \pi r^2 + 2\pi r h
  
  Z pierwszego równania:
  
  h = \frac{200}{\pi r^2}
  
  Wstawiamy h do drugiego równania:
  
  P = \pi r^2 + 2\pi r \cdotfrac{200}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{400}{r}
  
  Można zrobić wykres P(r) i znaleźć minimum (prawie równe r = 4), albo użyć pochodnej. Nie wiem, czy mi wolno. Pochodna:
  
  \frac{dP}{dr} = 2\pi r - \frac{400}{r^2} = 0
  
  Z tego po kilku przekształceniach:
  
  r^3 = \frac{400}{2\pi} \qquad\mbox{zatem}\qquad r = \sqrt[3]{\frac{400}{2\pi}}\,\approx\, 4
  
  Wracamy do wzoru na h, bo mamy obliczyć jeszcze ten wymiar.
  Wynik jest przybliżony, ale z niezłą dokładnością:
  
  h = \frac{200}{\pi 4^2} \,\approx\, 4
  
  Czyli szukany cylinder ma wysokość 4 i promień podstawy też 4. Zaznaczam, że przybliżałem wyniki.
  Jest jeszcze jeden aspekt tego zadania - jak to wyciąć. Ale o ile dobrze zrozumiałem trzeba "neglecting" straty materiału.
  ======================================
  
  
  Task 3b)
  Zrób sobie model z papieru, wytnij te narożniki, zagnij boki i zobacz jak z tego powstaje pudełko.
  Niech długość wyciętego kawałka wynosi "x". Jak wytniesz dużo, to powstanie pudełko chude, ale wysokie. Jak wytniesz mało - będzie szerokie, ale niskie. Liczymy:
  
  Z boków zostanie: 200 - 2x oraz 120 - 2x
  Pole podstawy = (200 - 2x) * (120 - 2x)
  Wysokość jest równa x.
  Objętość:
  
  V(x) = x(200 - 2x)(120 - 2x)
  
  I V(x) trzeba zminimalizować. Jak się policzy pochodną to wychodzi - nie chce mi się pisać długich obliczeń:
  
  \frac{dV}{dx} = 12x^2-320x+24000 = 0
  
  Rozwiązanie tego równania kwadratowego daje w przybliżeniu
  x1 = 24; x2 = 82.
  Ale x2 trzeba odrzucić, bo nie da się z prostokąta o boku 120 wyciąć 2 razy po 82 mm
  Zostaje: x1 = 24 mm
  Ale jeszcze musimy policzyć objętość. Wysokość to 24, boki podstawy to:
  200 - 2 * 24 = 152
  120 - 2 * 24 = 72
  Objętość = 152 * 72 * 24 = 262656 mm^3
  
  Zaznaczam, że przybliżałem wyniki. Ale chyba o to chodzi w tych zadaniach, aby nie wychodziło "za elegancko", bo są to praktyczne zastosowania matematyki.
  
  Pozdrów chłopaka i napisz mi, czy poprawnie rozwiązałem zadania.
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie