Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.5.2012 (13:49)

  A to już co innego :)
  Mianownik da się zapisać jako:
  
  x^3+x^2+2x+2=x^2(x+1)+2(x+1) = (x^2+2)(x+1)
  
  Całe wyrażenie podcałkowe rozkładamy na sumę ułamków prostych:
  
  \frac{1}{x^3+x^2+2x+2} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+2} =
  
  Wymnażamy i łączymy wyrazy przy tych samych potęgach x:
  
  =\frac{(A+B)\,x^2 + (B+C)\,x + 2A + C}{x^3+x^2+2x+2}
  
  Porównujemy powyższe wyrażenie z oryginałem, mającym 1 w liczniku:
  
  A + B = 0
  B + C = 0
  2A + C = 1
  stąd:
  A = C = 1/3 ; B = -1/3 i całkę można zapisać jako:
  
  \int = \frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{6}\int\frac{2x}{x^2+2}dx+\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x^2+2}
  
  Pierwsza z występujących powyżej całek to ln|x + 1|
  Druga z całek: licznik jest pochodną mianownika więc całka = ln|x^2+2|
  Trzecia całka: podstawiamy x = t*pierwiastek(2) i mamy:
  
  \int\frac{dx}{x^2+2} = \frac{1}{2}\,\int\frac{dt\,\sqrt{2}}{t^2+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)
  
  Łączymy wszystkie wyniki pamiętając, że różnica logarytmów to logarytm ilorazu oraz 2 razy logarytm to logarytm z kwadratu argumentu:
  
  \int = \frac{1}{6}\,\ln\left(\frac{(x+1)^2}{x^2+2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{6}\,\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + const

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    paulinka2384 2.5.2012 (14:24)

    latex mi nie działa :(