Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 2.4.2012 (14:25)

  Wszędzie są po dwa wyrażenia w |...|
  Rozważamy przypadki: obie wielkości pod |...| dodatnie, jedna ujemna, druga ujemna, obie ujemne.
  Jeżeli wrażenie pod |...| jest dodatnie to |...| = +....
  Jeżeli wrażenie pod |...| jest ujemne to |...| = -....
  Odpowiednio trzeba zmodyfikować równanie i je rozwiązać pamiętając, że warunki na dodatniość lub ujemność |...| narzucają ograniczenia na zakres x.
  To, gdzie "przypiąć" przypadek |...| = 0 jest obojętne, ja to robię dla dodatnich.
  
  a)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne co znaczy że x - 1 >= 0 oraz x + 3 >= 0
  czyli x >= 1 oraz x >= -3.
  Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie więc x >= 1
  Równanie ma postać:
  x - 1 + x + 3 = 4 stąd x = 1.
  Rozwiązanie jest poprawne, bo spełnia warunek x >= 1.
  
  x - 1 < 0 oraz x + 3 >= 0 czyli x < 1 oraz x >= -3
  x jest z przedziału <-3, 1)
  Równanie ma postać:
  -x + 1 + x + 3 = 4, czyli 4 = 4.
  Równanie jest spełnione dla wszystkich x z przedziału <-3, 1)
  
  x - 1 >= 0 oraz x + 3 < 0 czyli x >= 1 oraz x < -3. Sprzeczność
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że x - 1 < 0 oraz x + 3 < 0
  czyli x < 1 oraz x < -3.
  Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie więc x < -3
  Równanie ma postać:
  -x + 1 - x - 3 = 4 stąd x = -3.
  Ale x = -3 NIE należy do przedziału stosowalności tego przypadku bo x ma być < -3. Odrzucamy.
  (i tak x = -3 będzie rozwiązaniem z powodu drugiego przypadku.
  
  Łączymy przypadki: x = 1 lub x w przedziale <-3, 1) więc x w przedziale <-3, 1>.
  ======================
  
  b)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne, co znaczy że x + 1 >= 0 oraz x - 1 >= 0
  czyli x >= -1 oraz x >= 1.
  Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie więc x >= 1
  Równanie ma postać:
  x + 1 = 2 - x + 1 stąd x = 1.
  Rozwiązanie jest poprawne, bo spełnia warunek x >= 1.
  
  x + 1 < 0 oraz x -1 >= 0 czyli x < -1 oraz x >= 1. Sprzeczność
  
  x + 1 >= 0 oraz x -1 < 0 czyli x >= -1 oraz x < 1.
  x jest z przedziału <-1, 1)
  Równanie ma postać:
  x + 1 = 2 + x -1 , czyli 1 = 1
  Równanie jest spełnione dla wszystkich x z przedziału <-1, 1)
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że x + 1 < 0 oraz x 1 1 < 0
  czyli x < -1 oraz x < 1.
  Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie więc x < -1
  Równanie ma postać:
  -x - 1 = 2 + x - 1 stąd x = -1.
  Ale x = -1 NIE należy do przedziału stosowalności tego przypadku bo x ma być < -1. Odrzucamy.
  (i tak x = -1 będzie rozwiązaniem z powodu trzeciego przypadku.
  
  Łączymy przypadki: x = 1 lub x w przedziale <-1, 1) więc x w przedziale <-1, 1>.
  ======================
  
  c)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne, co znaczy że 4 - x >= 0 oraz 2 - 3x >= 0
  czyli x <= 4 oraz x <= 2 / 3. czyli x <= 2/3.
  Równanie ma postać:
  6 - 4 + x = 2 - 3x, co daje x = 0. Poprawne rozwiązanie.
  
  4 - x >= 0 oraz 2 - 3x < 0 czyli x <= 4 oraz x > 2/3 czyli x z przedziału (2/3, 4>
  Równanie ma postać:
  6 - 4 + x = -2 + 3x, co daje x = 2. Poprawne rozwiązanie.
  
  4 - x < 0 oraz 2 - 3x >= 0 czyli x > 4 oraz x <= 2/3. Sprzeczność
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że 4 - x < 0 oraz 2 - 3x < 0
  czyli x > 4 oraz x > 2/3 zatem x > 4
  Równanie ma postać:
  6 - 4 + x = -2 + 3x, co daje x = 2. Odrzucamy, bo ma byc x > 4.
  
  Rozwiązaniami są x1 = 0; x2 = 2
  ======================
  
  d)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne, co znaczy że x + 2 oraz x >= 0
  czyli x >= -2 oraz x > 0, czyli x > 0
  Równanie ma postać:
  x + 2 = 7 - x, co daje x = 5 / 2. Poprawne rozwiązanie.
  
  x + 2 >= 0 oraz x < 0 czyli x >= -2 oraz x < 0,
  x z przedziały <-2, 0)
  Równanie ma postać:
  x + 2 = 7 + x, co daje sprzeczność.
  
  x + 2 < 0 oraz x >= 0 czyli x < -2 oraz x >= 0, sprzeczność.
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że x + 2 < 0 oraz x >= 0
  czyli x < -2 oraz x < 0, czyli x < -2
  Równanie ma postać:
  -x - 2 = 7 + x, co daje x = -9 / 2. Poprawne rozwiązanie.
  
  Rozwiązaniami są x1 = -9 / 2; x2 = 5 / 2
  ======================
  
  e)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne, co znaczy że 2x + 3 >= 0 oraz x - 1 >= 0
  czyli x >= -3/2 oraz x > 1, czyli x > 1
  Równanie ma postać:
  2x + 3 - x + 1 = 4 co daje x = 0. Odrzucamy, bo ma być x > 1
  
  2x + 3 >= 0 oraz x - 1 < 0 czyli x >= -3/2 oraz x < 1,
  x z przedziału <-3/2, 1)
  Równanie ma postać:
  2x + 3 + x - 1 = 4 co daje x = 2 / 3. Poprawne rozwiązanie.
  
  2x + 3 < 0 oraz x - 1 >= 0 czyli x < -3/2 oraz x >= 1, sprzeczność.
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że2x + 3 < 0 oraz x - 1 < 0
  czyli x < -3/2 oraz x < 1, czyli x < -3/2
  Równanie ma postać:
  -2x - 3 + x - 1 = 4 co daje x = -8. Poprawne rozwiązanie.
  
  Rozwiązaniami są x1 = -8; x2 = 2/3
  ======================
  
  f)
  Oba wyrażenia pod |...| są nieujemne, co znaczy że x + 3 >= 0 oraz x - 1 >= 0
  czyli x >= -3 oraz x > 1, czyli x > 1
  Równanie ma postać:
  x + 3 = x - 1 + 8 co daje 3 = 7. Sprzeczność.
  
  x + 3 >= 0 oraz x - 1 < 0 czyli x >= -3 oraz x < 1,
  x z przedziału <-3, 1)
  Równanie ma postać:
  x + 3 = -x + 1 + 8 co daje x = 3. Odrzucam, b poza wyznaczonym przedziałem.
  
  x + 3 < 0 oraz x - 1 >= 0 czyli x < -3 oraz x >= 1, sprzeczność.
  
  Oba wyrażenia pod |...| są ujemne, co znaczy że x + 3 < 0 oraz x - 1 < 0
  czyli x < -3 oraz x < 1, czyli x < -3
  Równanie ma postać:
  -x - 3 = -x + 1 + 8 co daje 3 = 7. Sprzeczność.
  
  Równanie nie ma rozwiązań.
  ======================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie