Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.3.2012 (06:07)

  4.
  Obliczam kwadrat tangensa: tg^2(alfa) = 144/25
  
  \mbox{tg}^2\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}
  
  Mnożę obie strony przez kwadrat kosinusa i znajduję ten kosinus kwadrat.
  
  \mbox{tg}^2\alpha \,\cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\qquad\mbox{zatem}\qquad \cos^2\alpha=\frac{1}{1+\cos^2\alpha}
  
  Wyznaczam szukane funkcje:
  
  \cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{1+144/25}} = \frac{5}{13}\qquad\mbox{oraz}\qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}
  
  ==================
  
  5.
  Najmniejszy kąt alfa jest między najdłuższymi bokami. Z twierdzenia kosinusów:
  (czytaj ^2 jako "do kwadratu")
  
  24^2 + 25^2 - 2 * 24 * 25 * cos(alfa) = 10^2
  
  cos(alfa) = (24^2 + 25^2 - 10^2) / (2 * 24 * 25) = około 0,9175
  
  Takiemu kosinusowi odpowiada kąt około 23,44 stopnia
  ==================
  
  6.
  Tangens 60 stopni = pierwiastek(3), co podstawiam.
  Z pomocą kalkulatora można sprawdzić, że wynik to około 2.
  Obliczam wyrażenie:
  
  \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}
  
  Wyciągam pierwiastek z obu stron i przenoszę pierwiastek(3) na prawo
  
  2 = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{3}
  
  Całe wyrażenie jest równe 2, czyli liczbie naturalnej.
  ==================
  
  7.
  Z sinusa obliczam cos(alfa) = pierwiastek [ 1 - (4/5)^2 ] = 3/5.
  Więc tg(alfa) (4/5) / (3/5) = 4 / 3.
  8^(4/3) = 2^4 = 16. Jest to liczba naturalna.
  ==================
  
  8.
  Podwójne pole trójkąta ABC można obliczyć na dwa sposoby: podstawa * wysokość albo iloczyn AC * BC * sinus kąta przy wierzchołku C. Kąt ten wynosi: 180 - 60 - 45 = 75 stopni.
  
  CD * AB = AC * BC * sin(75) ; więc CD = [ AC * BC * sin(75) ] / AB
  
  Boki trójkąta wyznaczam z tw. sinusów:
  
  BC / sin(60) = AB / sin(75) ; więc BC = AB * sin(60) / sin(75)
  AC / sin(45) = AB / sin(75) ; więc AC = AB * sin(45) / sin(75)
  
  Wstawiam to do równania na CD
  
  CD = [ AB * sin(45) / sin(75) ] * [AB * sin(60) / sin(75) ] * sin(75) / AB
  
  CD = AB * sin(45) * sin(60) / sin(75) = 12 * sin(45) * sin(60) / cos(60-45)
  
  bo sin(75) = cos(15)
  
  CD = 12\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
  
  ==================
  
  9.
  Oznaczam długość dłuższej przyprostokątnej przez x.
  Ta dłuższa przyprostokątna jest naprzeciwko większego kąta więc
  
  tg(alfa) = 1,75 = x / (x-3) ; stąd: 1,75 x - 5,25 = x ; czyli: x = 7.
  
  Przyprostokątne mają długości 7 i 4
  ==================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie