Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 21.11.2011 (08:14)

  Przepisuję przykłady, aby można było sprawdzić, czy rozumiem, o co w nich chodzi.
  Jak coś źle zrozumiem, to ta część rozwiązania jest błędna.
  A rysunki jedynie opisuję, sorry.
  Poza tym weź pod uwagę, ze mogę się pomylić :)
  
  Zestaw 1.
  1. Na płaszczyznie zespolonej narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek
  Jm 1+iz\(przez) 1-iz =1
  
  Czyli taki? (Im - część urojona)
  
  Im\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right) = 1
  
  Zapisuję z = x + iy, wtedy:
  
  \frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1-y+ ix}{1+y-ix}=\frac{(1-y+ ix)(1+y+ix)}{(1+y-ix)(1+y+ix)}
  
  Jak się to wymnoży i weźmie cześć urojoną to wychodzi:
  
  \frac{2x}{x^2+(y+1)^2} = 1\qquad\mbox{zatem}\qquad x^2 - 2x + (y+1)^2 = 0
  
  To ostatnie wyrażenie jest tym samym co:
  
  (x-1)^2 + (y+1)^2 = 1
  
  A to jest okrąg o środku w (1, -1) i promieniu 1.
  
  2. Odgadując jeden z elementów pierwiastka -Pierwiastek 3 stopnia z (1+i)do potegi 6 obliczyc pozostałe elementy tego pierwiastka.
  
  O to chodzi?
  
  -\sqrt[\displystyle 3]{(1+i)^6}
  
  Minus przed całością mogę sobie na razie pominąć.
  (1+i)^6 = -8i
  Zgaduję jeden z pierwiastków:
  
  z_1 = \sqrt[\displaystyle 3]{-8i} = 2\sqrt{2}\sqrt[\displaystyle 3]{-i}=2\sqrt{2}\,i
  
  Ten pierwiastek i pozostałe dwa tworzą trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 2 * pierwiastek z 2. Do kąta trzeba dodawać 120 lub 240 stopni, czyli 2pi/3 lub 4pi/3. Poza tym trzeba zmienić znak na minus czyli też dodać pi. Kąty wynoszą więc:
  3/2 pi
  3/2pi + 2pi/3 = 2pi + pi/6
  3/2pi + 4pi/3 = 2pi + 5pi/6
  
  Cały zestaw pierwiastków, z uwzględnieniem znaku minus przed pierwiastkiem
  z_1 = -2\sqrt{2}\,i
  z_2 = -\sqrt{2}\,(-\sqrt{3} + i)
  z_3 = -\sqrt{2}\,(\sqrt{3} + i)
  
  
  Zestaw 2.
  1.Podać moduł i argument główny liczby zespolonej
  (1+ipirwiastek 3)do potęgi 17\(przez)(1-i)do potęgi 28.
  
  O to chodzi?
  
  z = \frac{(1 + i\,\sqrt{3})^{17}}{(1-i)^{28}}
  
  Moduł:
  |z| = \frac{(\sqrt{1+(\sqrt{3})^2})^{17}}{(\sqrt{1+1})^{28}} = \frac{2^{17}}{2^{17}} = 1
  
  Argument: W liczniku jest 17* pi/3. W mianowniku jest 28 * (3/2)pi
  
  Arg(z) = 17\cdot\pi/3 - 28\cdot(3/2)\pi = -36\pi-\pi/3
  
  (Główny argument: -pi/3)
  
  2.
  Zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej zbiór
  {zeD; |z-1|=|Rez|}
  
  Rozpisuję na z = x + iy
  
  \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |x|
  
  Obie strony do kwadratu:
  
  (x-1)^2 + y^2 = x^2\qquad\mbox{zatem}\qquad 1+y^2 = 2x
  
  To jest parabola w kształcie litery U obróconej o 90 stopni zgodnie z zegarem. Przechodzi przez punkt (1/2,0)
  
  Zestaw 3.
  1.Narysować na plaszczyznie zespolonej zbiór
  {zed:|z|+Rez<(równe)1}
  
  Czy o to chodzi?
  
  |z| + Re(z) \leqslant 1
  
  W zapisie z = x + iy
  
  \sqrt{x^2+y^2} + x \leqslant 1
  
  "Obwódka" to pary (x,y) spełniające równość, czyli takie, że:
  
  x^2+y^2 = (1-x)^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad 2x = 1-y^2
  
  To jest parabola w kształcie litery U obróconej o 90 stopni przeciwnie do zegara. Przechodzi przez punkt (1/2,0). Nierówność spełniają punkty "wewnątrz" tej paraboli [np punkt (0,0)], trzeba je zaznaczyć. Sama parabola też należy do zbioru, bo nierówność jest niostra.
  
  2.Wyznaczyć elementy zbioru- Pierwiastek 6 stopnia z -2, a następnie narysować je na płaszczyznie zespolonej.
  
  O to chodzi? Czy ten minus przed "Pierwiastek" jest przypadkiem ?
  
  -\sqrt[\displaystyle 6]{-2}
  
  -2 mogę zapisać jako:
  
  -2 = 2\,(\cos\pi + i \,\sin\pi)
  
  Pierwszy pierwiastek to
  
  z_1 = \sqrt[\displaystyle 6]{2}\Big(\cos(\pi/6) + i\,\sin(\pi/6)\Big) = \sqrt[\displaystyle 6]{2}(\sqrt{3}/2 + i/2)
  
  Pozostałe pierwiastki leżą w pozostałych wierzchołkach 6-kata foremnego wpisanego w okrąg o promieniu pierwiastek 6 stopnia z 2 (pierwszy wierzchołek to ten powyżej) i środku w (0,0).
  Jeśli chodzi o zapis jako liczby zespolone to do kątów dodajesz po 1/6 pi. Sorry, juz mi się nie chce tego pisać! Jeśli jest minus przed wszystkim to całość trzeba odbić symetrycznie względem (0,0).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie