Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.11.2011 (12:37)

  1) Skoro "odgadnij" to rozumuję tak:
  Zapiszę całą funkcję wyciągając minus przed nawias:
  f(x) = -(x^2 - 7x + 12)
  Wyraz wolny trójmianu w nawiasie to 12.
  Przypominam sobie taki wzór: (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab.
  To mi podpowiada, że szukałbym pierwiastków wśród liczb, które w iloczynie dają 12.
  Jednocześnie przy x jest (a+b), a w trójmianie jest -7.
  Doskonałymi kandydatami są więc 3 i 4, czyli funkcja miałaby postać:
  
  f(x) = -(x-3)(x-4). Miejsca zerowe to x1 = 3, x2 = 4
  --------------------------
  
  2)
  
  f(x) = \pi x^2 - \sqrt{2} x - 1
  
  Wykres funkcji jest parabolą w kształcie litery "U". Sprawdzam, gdzie ma minimum [ze wzoru xmin = -b/(2a) ]
  
  x_{min} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi}\,\approx\,0{,}225
  
  Punkt minimum leży w przedziale <-1,1> ale poza <-3,-1>.
  
  a) Przedział <-1,1>. Jest w nim minimum funkcji więc wartość minimalną obliczam biorąc f(xmin).
  
  f(x_{min}) = \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2\pi}\right)^2 -\sqrt{2}\,\frac{\sqrt{2}}{2\pi} - 1 = -1-\frac{1}{2\pi}\,\approx\,-1{,}16
  
  Wartość maksymalną funkcja przyjmuje na końcu przedziału, tylko trzeba sprawdzić, na którym końcu. Obliczam f(-1) oraz f(1)
  
  f(-1) = \pi\cdot (-1)^2 -\sqrt{2}\cdot(-1)-1 \,\approx\,3{,}56
  
  f(1) = \pi\cdot -\sqrt{2}-1 \,\approx\,0{,}73
  
  Większa wartość to f(-1) wobec tego:
  
  fmin = -1,16 ; fmax = 3,56
  
  b) Przedział <-3,-1> W tym przedziale, na lewo od minimum, funkcja jest ściśle malejąca. Wobec tego minimum jest w x = -1, a maksimum w x = -3. f(-1) mam już obliczone.
  
  f(-3) = \pi\cdot (-3)^2 -\sqrt{2}\cdot(-3)-1 \,\approx\,31{,}52
  
  fmin = 3,56 ; fmax = 31,52
  -----------------------------------
  
  3.
  Z zadania wynika, że jest to parabola w kształcie "U" i podany przedział leży na prawo od minimum (bo funkcja jest rosnąca). Wobec tego f(-3) = -6 oraz f(1) = 3. Podstawiam to do równania funkcji:
  
  (-3)^2 + b * (-3) + c = -6
  
  1^2 + b * 1 + c = 3
  
  Odejmuję pierwsze z równań od drugiego stronami. Skraca się c.
  
  -8 + 4 b = 9 ; więc b = 17 / 4
  
  Wstawiam b dodrugiego równania, obliczam
  
  c = 2 - b = 2 - 17 / 4 ; więc c = -9 / 4
  
  Funkcja ma postać: x^2 + (17/4)x - 9/4
  -----------------
  
  
  4.
  Ze wzorów Viete'a. Współczynnik "a" w tych wzorach tutaj równa się 1.
  
  Suma miejsc zerowych = -b/a = 4 ; więc b = -4
  
  Iloczyn miejsc zerowych = c/a = -12 ; więc c = -12
  
  Funkcja ma postać: y = x^2 -4x -12
  --------------------
  
  5.
  Przekształcam szukany kwadrat różnicy w ten sposób:
  
  (x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - 4 x_1 x_2 =
  
  = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2
  
  Dostałem kwadrat sumy x1 + x2 minus 4 iloczyny x1 * x2. Ze wzorów Viete'a:
  
  (x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{-7}{1}\right)^2 -4\cdot\frac{10}{1} = 9
  
  ----------
  
  
  6a)
  x^2 + 5x = x * (x + 5) = 0 ; więcx1 = 0 ; x2 = -5
  
  b)
  x^2 = 15 ; więc x1,2 = plus/minus pierwiastek(15)
  
  c).
  x^2 + 4 =0 Brak rozwiązań bo lewa strona jest >= 4.
  
  d).
  2x^2 +8x +3 = 0
  delta = 8^2 - 4 * 2 * 3 = 40
  Dalej rozwiązuję standardowo... Żadnych kruczków? Może źle przepisany przykład?
  ------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie