Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 13.11.2011 (21:17)

  Pomnożę i podzielę an przez te dwa pierwiastki, ale z plusem między nimi. Dla dużych n wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie, można dzielić przez sumę pierwiastków. Dostaję:
  
  a_n = \frac{(\sqrt{n^2 +3n-3} - \sqrt{n^2-3n+4})(\sqrt{n^2 +3n-3} + \sqrt{n^2-3n+4})}{\sqrt{n^2 +3n-3} + \sqrt{n^2-3n+4}}
  
  W liczniku zastosuję wzór na iloczyn sumy i różnicy, a w mianowniku wyciągnę n przed pierwiastki.
  
  a_n = \frac{(n^2 +3n-3) - (n^2-3n+4)}{n\cdot\sqrt{1 +3/n-3/n^2} + n\cdot\sqrt{1-3/n+4/n^2}}
  
  Upraszczam co się da w liczniku
  
  a_n = \frac{6n-7}{n\cdot\sqrt{1 +3/n-3/n^2} + n\cdot\sqrt{1-3/n+4/n^2}}
  
  Dzielę licznik i mianownik przez n. To już prawie koniec:
  
  a_n = \frac{6-7/n}{\sqrt{1 +3/n-3/n^2} + \sqrt{1-3/n+4/n^2}}
  
  Dla n -> oo wyrażenia 1/n i 1/n^2 dążą do zera i zostaje:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = \frac{6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = 3
  
  Granica wynosi 3.
  
  
  Innym sposobem jest rozwinięcie pierwiastków w szereg (po wyciągnięciu n przed pierwiastek) i zastosowanie przybliżenia ważnego dla małych x:
  
  \sqrt{1\pm x}\,\approx\,1 \pm \frac{1}{2}x
  
  Jeśli tak wolno zrobić dostaje się od razu:
  
  a_n \,\approx n\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\,(3/n - 3/n^2) - 1 + \frac{1}{2}\,(3/n - 4/n^2)\right) \,\approx\, n\cdot\frac{6}{2n} = 3
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 13.11.2011 (21:33)

    Najpierw zrobiłem tym ostatnim sposobem a potem wpadłem na pomysł, że n^2 się na pewno skróci "szkolną" metodą pozbywania się niewymierności :)