Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 5.10.2011 (09:10)

  Oznaczam przez a dłuższy bok równoległoboku, przez b - krótszy jego bok.
  Kąt rozwarty równoległoboku wynosi 180 - 60 = 120 stopni.
  Z twierdzenia kosinusów mogę zapisać kwadraty długości przekątnych:
  Dłuższa:
  a^2 + b^2 - 2ab\cos\,120 = d_1^2
  Krótsza:
  a^2 + b^2 - 2ab\cos\, 60 = d_2^2
  Dzielę te równania stronami oraz podstawiam cos 60 = 1 / 2; cos 120 = -1 / 2
  \frac{a^2 + b^2 + ab}{a^2 + b^2 - ab} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{19}{7}
  Wykorzystałem powyżej znajomość stosunku kwadratów przekątnych.
  Aby dostać stosunek a / b dzielę licznik i mianownik ułamka po lewej przez b^2.
  \frac{a^2/b^2 + 1 + a/b}{a^2/b^2 + 1 - a/b} = \frac{19}{7}
  Oznaczam szukane a/b literą k i mnożę krzyżowo proporcję z równania wyżej:
  7\cdot(k^2 + k + 1) = 19\cdot(k^2 - k + 1)
  Mnożę nawiasy, przenoszę wszystko na jedną stronę, dzielę przez 2.
  6k^2 - 13k + 13 = 0
  
  Niestety tu mam złą wiadomość: Wyróżnik delta tego równania wynosi:
  13^2 - 4 * 6 * 13 = -143 i jest ujemny. Równanie NIE MA ROZWIĄZAŃ.
  Nie istnieje równoległobok o podanych własnościach.
  Prawdopodobnie stosunek długości przekątnych jest inny niż 19/7.
  Ale metodę masz.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 5.10.2011 (09:44)

    Sorry, mój błąd! Oczywiści istnieje rozwiązanie a/b = 3/2. Równanie kwadratowe to: 6k^2 - 13k + 6 = 0