Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.6.2011 (18:25)

  W zadaniu czegoś brakuje, ale spróbuję naszkicować możliwe rozwiącanie.
  Nie jestem powien, czy o to chodzi.
  
  Pewnie chodzi o to równanie (tzw promień Schwarzschilda R)
  R = \frac{2GM}{c^2}
  c - prędkość światła, M - masa czarnej dziury, G - stała grawitacyjna.
  
  Dane: (czytaj ^ jako "do potęgi")
  T = 15 lat = około 31,6 * 10^6 s
  stałą grawitacyjną G = 6,67 * 10^(-11) N*m^2/kg^2 uznaję za znaną.
  
  Siłą dośrodkową, powodującą ruch po okręgu, jest siła przyciągania czarnej dziury. Zapisuję tę siłę raz jako dośrodkową (używając okresu T i promienia r), raz jako siłę grawitacji ze wzoru Newtona. Małe "m" to masa gwiazdy,, upraszcza się.
  \frac{GMm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r
  stąd
  r = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}
  Sprawdzam wymiar wyrażenia pod pierwiastkiem.
  \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\cdot s^2\cdot kg = \frac{kg\cdot\frac{m}{s^2}\cdot s^2\cdot m^2}{kg} = m^3
  Pierwiastek sześcienny z m^3 daje metr, prawidłowo.
  
  Masa M nie jest podana, więc dokładnie promienia r nie wyliczę. ALE można porównać go z promieniem Schwarzschilda R. Ze raoru na R wyliczam cały iloczyn G*M.
  GM = \frac{1}{2}Rc^2
  i wstawiam do wzoru na R
  r = \sqrt[3]{\frac{Rc^2T^2}{8\pi^2}}
  Wymiar się zgadza, bo iloczyn cT ma wymiar metra. Obliczę to, co jest dane pod pierwiastkiem. Prędkość światła c = 3 * 10^8 m/s.
  \frac{c^2T^2}{8\pi^2} = \frac{(3\cdot 10^8)^2\cdot(15\cdot 31{,}6 \cdot 10^6)^2}{8\pi^2} \,\approx\, 2{,}56\cdot 10^{32}
  Wyciągam z tej liczby pierwiastek sześcienny i mam (w przybliżeniu)
  r = 6\cdot 10^{10}\sqrt[3]{R}
  
  Teraz wszystko zależy od tego, ile wynosi R w metrach, to znaczy jak masywna jest czarna dziura.
  (dlatego, że R jest pod pierwiastkiem i to sześciennym).
  Załóżmy, że r = R. Nie trudno wtedy obliczyć, że r = około 1,6*10^16 m. (podnoszę obie strony do sześcianu, dzielę przez R, wykluczam r = 0). Zobaczę, ile to wynosi w latach świetlnych. Ilość sekund w roku już policzyłem, dzielę 1,6*10^16 m przez prędkość światła i ilość sekund w roku:
  \frac{1{,}6\cdot 10^{16}}{3\cdot 10^8\cdot 31{,}6\cdot 10^6} \,\approx\,1{,}7
  
  Czyli gdy horyzont zdarzeń czarnej dziury wynosi około 1,7 roku świetlnego to gwiazda obiega dziurę w ciągu 15 lat dokładnie na granicy jej horyzontu zdarzeń.
  Jeżeli dziura jest masywniejsza to zauważ, że r rośnie jak pierwiastek sześcienny z M, natomiast R jest wprost proporcjonalne do M. Wobec tego gwiazda wejdzie pod horyzont zdarzeń i wpadnie do dziury.
  Jeśki dziura ma mniejszą masę - możliwe jest istnienie gwiazdy, która obiega ją w czasie 15 lat.
  
  Gwiazda, która obiega centrum po orbicie o promieniu 1,7 roku świetlnego w czasie 15 lat musi mieć prędkość:
  v = \frac{2\pi}{T}R = \frac{2\pi}{15}{1{,}7c} \,\approx\,0{,}7c.
  czyli 0,7 prędkości światła.
  To jest realne. Oczywiście mniejsze masy czarnej dziury są tym bardziej dopuszczalne.
  
  OK, tyle rozwiązania i tak nie jestem pewien, czy o to chodzi. W ostatnim wzorze wykorzystałem definicję roku świetlnego, aby ponownie nie przeliczać R w metrach.
  
  Pozdro - Antek
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie