Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.5.2011 (13:50)

  Autorce / Autorowi zadania sugeruję zamieszczenie treści po angielsku, zamiast użycia elektronicznego tłumacza! Nie jestem pewien czy dobrze rozumiem treść. Wydaje mi się, że chodzi o to, że:
  
  Młot o masie 300 kg spada na metal z wysokości 2m i w trakcie uderzenia przebywa drogę 15 mm w czasie 0.0048 s (co NIE znaczy, że się zatrzymuje!) Obliczyć średnią siłę uderzenia młota.
  
  (***)
  Jedynie tak mogę wyjaśnić jednoczesne pojawienie się w zadaniu czasu i drogi w trakcie uderzenia.
  Albo w zadaniu jest za dużo danych (i młot zatrzymał się po przebyciu 15 mm lub po czasie 0,0048 s), albo źle rozumiem zadanie.
  Dalej rozwiązuję z tym zastrzeżeniem! Patrz też "DYSKUSJA" na końcu rozwiązania.
  
  Oznaczam:
  h = 2 m - wysokość, z której spada młot
  m = 300 kg - masa młota
  s = 15 mm - droga zwalniania młota
  t = 0.0048 s - czas zwalniania młota
  
  Szukam średniej siły zderzenia F.
  
  Z zasady zachowania energii:
  Energia potencjalna młota zamienia się w jego energię kinetyczną, a ta z kolei w pracę wykonaną przeciwko siłe oporu metalu.
  Energia potencjalna to Ep = m g h
  UWAGA! Dokładniej Ep = m g (h + s), bo młot obniża się jeszcze o s, ale drogę s pomijam, jako znacznie mniejszą od h.
  Energia kinetyczna mlota w chwili uderzenia to Ek = m v^2 / 2.
  Porównuję obie energie i obliczam prędkość młota w chwili uderzenia:
  
  mgh = \frac{1}{2}mv^2 \qquad\mbox{zatem}\qquad v = \sqrt{2gh}
  
  W trakcie uderzenia młot przebywa drogę s w czasie t, mając prędkość początkową v i końcową prędkość vk, NIE równą zeru. Na podstawie równań kinematyki droga s jest równa iloczynowi czasu i prędkości średniej, czyli:
  
  s = \frac{v + v_k}{2}t \qquad\mbox{zatem}\qquad v_k = \frac{2s}{t} - v
  
  Obliczam prędkość końcową, pamiętając, aby zamienić drogę s na metry, s = 0.015 m. Przyjmuję g = 10 m/s^2. Podstawiam "v" z równania na energię kinetyczną.
  
  v_k = \frac{2\cdot 0.015}{0.0048} - \sqrt{2\cdot 10\cdot 2} \,\approx\, 0
  
  Końcowa prędkość jest praktycznie równa zero. To wyjaśnia (***). Podany czas i droga są takie, że młot zatrzyma się po tym czasie lub na takiej drodze. Można wykorzystać dowolną z tych wielkości.
  Jednocześnie znacznie upraszcza się zadanie, gdyż cała energia potencjalna młota idzie na pracę przeciwko sile oporu. Właściwe rozwiązanie "energetyczne zaczyna się więc tutaj:
  
  -------------------------
  
  Praca W przeciwko sile oporu F to W = F s.
  Porównuję Ep = W i dostaję równanie:
  
  mgh = Fs\qquad\mbox{zatem}\qquad F = \frac{mgh}{s}
  
  Podstawiam dane, s = 0.015 m
  
  F = \frac{300\cdot 10\cdot 2}{0.015} = 400000\,\,N
  
  Młot działał ze średnią siłą 400000 N = 400 kN.
  Sprawdźmy jeszcze wymiar siły [F]
  [F] = \frac{kg\cdot m/s^2\cdot m}{m} = kg\cdot\frac{m}{s^2} = N
  
  -------------------
  
  Metoda a'Alamberta polega na rozwiązaniu używającym sił i przyspieszeń.
  Oznaczam przez "a" opóźnienie młota.
  W trakcie zderzenia na młot działa pionowo w górę siła oporu F, pionowo w dół siła ciężkości Q = mg, poza tym w układzie nieinercjalnym działa siła bezwładności B = ma, skierowana w dół, przeciwnie do zwrotu wektora opóźnienia. Zgodnie z zasadą d'Alamberta zachodzi równość sił (zwrot "w górę" przyjmuję jako + ).
  
  F - mg - ma = 0
  
  Stąd F = m (g + a). Przyspieszenie a obliczam dzieląc początkową prędkość v przez czas t, w którym młot został wyhamowany. Potrzebna mi początkowa prędkość v. Obliczyłem ją w pierwszej części zadania, ale aby uniknąć używania zasady zachowania energii mogę także zastosować równania ruchu przyspieszonego znane z kinematyki.
  Młot spadał przez czas T, z przyspiezeniem ziemskim g, uzyskując prędkość v, wobec tego czas T wynosi T = v / g. Wstawiam to do równania na drogę h w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
  
  h = \frac{1}{2}gT^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{v}{g}\right)^2 = \frac{v^2}{2g}
  
  Po pomnożeniu przez 2g dostaję taki sam wynik, jak z zasady zachowania energii.
  
  v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 2} = \sqrt{40} \,\approx\, 6.325\,\,m/s
  
  Obliczam opóźnienie: a = 6,325 / 0.0048 \,\approx\, 1318\,\,m/s^2
  
  Zatem siła oporu = 300 * (1318 + 10)
  F\,\approx\, 398000 \,\,N = 398 \,\,kN
  
  DYSKUSJA
  Istnieje niewielka rozbieżność wyników, obliczonych obydwiema metodami. Jest to spowodowane:
  1) nadmiarem danych w zadaniu i założeniem, że młot został zatrzymany na drodze s
  2) przybliżeniami w obliczeniach.
  Metoda d'Alamberta wymagała obliczenia prędkości upadku młota (czyli tak naprawdę jego energii kinetycznej w chwili uderzenia). Jeśli stosuje się zasadę zachowania energii znajomość energii kinetycznej nie jest potrzebna. Nie jest potrzebne też obliczanie opóźnienia młota.
  W wypadku tego zadania metoda "energetyczna" jest ZDECYDOWANIE lepsza.
  
  Pozdrowienia - Antek
  W razie wątpliwości pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie