Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.5.2011 (20:19)

  1.
  Oznaczam szukane liczby a, b, c (w takiej właśnie kolejności)
  Pierwsze równanie jest oczywiste:
  a + b + c = 13
  Drugie równanie bierze się z twierdzenia: "Kwadrat jakiegoś wyrazu ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich". Mam nadzieję, że coś takiego było na lekcji, jak nie, napisz na priv, udowodnię. Więc drugie równanie:
  a * c = b^2
  Trzecie równanie biorę z twierdzenia: " Jakiś wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Uwaga - jak wyżej. Więc trzecie równanie:
  (a + 2) + (c + 4) = 2 * (b + 5)
  Ten układ trzeba rozwiązać. Z 3-go równania wynika:
  a + c = 2b + 10 - 6 = 2b + 4.
  Wstawiam to do pierwszego równania:
  2b + 4 + b = 13; stąd b = 3
  Drugie i trzecie równanie mogę teraz przepisać jako:
  a c = 9
  a + 2 + c + 4 = 2 * (3 + 5) = 16
  Z ostatniego równania: a = 10 - c. Wstawiam to do iloczynu:
  (10 - c) * c = 9
  Mnożę, przenoszę wszystko na prawą stronę:
  0 = c^2 - 10c + 9. Rozwiązuję:
  Delta = 10^2 - 4 * 1 * 9 = 64 = 8^2
  c1 = (10 - 8) / 2 = 1; c2 = (10 + 8) / 2 = 9
  Stąd też dwa rozwiązania na a: a1 = 9, a2 = 1.
  Są dwa zestawy liczb, spełniające warunki zadania:
  (9, 3, 1) lub (1, 3, 9)
  
  2.
  Oznaczam te liczby a, b. Czyli:
  3, a, b ma tworzyć ciąg geometryczny
  a, b, 18 ma tworzyć ciąg arytmetyczny.
  Z twierdzeń, używanych z zadaniu 1, wynika, że:
  3b = a^2
  a + 18 = 2b
  Z drugiego równania mam a = 2b - 18. Wstawiam do pierwszego:
  3b = (2b - 18)^2. Podnoszę do kwadratu, porządkuję:
  4b^2 -75b + 324 = 0. Rozwiązuję:
  Delta = 75^2 - 4 * 4 * 324 = 441 = 21^2
  b1 = (75 - 21) / 8 = 27/4; b2 = (75 + 21) / 8 = 12
  Stąd 2 rozwiązania na a:
  a1 = -9/2, a2 = 6
  Odrzucam ujemne a1, gdyż nie da się go wstawić między 3 i 18. Zostaje:
  3, 6, 12, 18

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie