Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.5.2011 (13:32)

  Zapiszę oba wielomiany w LaTeX'u, aby było pewne, czy dobrze zrozumiałem zadanie, bo jak nie, to dalej nie ma co czytać. Chodzi o równość P(x) = Q(x) czyli:
  a x^3 -4x^2 + 5x - 2 = (x-b)^2(x-c)
  
  Oznaczenie x^2 czytaj "do kwadratu". Podobnie x^3, b^2 etc.
  Wymnażam kwadrat i nawias w wielomianie Q(x)
  Q(x) = (x^2 - 2bx + b^2)(x-c)
  Q(x) = x^3 - 2bx^2 +b^2 x -c x^2 + 2bc x - b^2 c
  Obliczam P(x) - Q(x). Grupuję wyrazy przy różnych potęgach x.
  (a-1) x^3 + (2b + c - 4) x^2 + (5 - b^2 - 2bc) x -2 + b^2 c = 0
  Aby całość była zerem dla dowolnego x wszystkie współczynniki mają być zerami, czyli:
  a - 1 = 0
  2b + c - 4 = 0
  5 - b^2 - 2bc = 0
  -2 + b^2 c = 0
  Jest aż za dużo równań, oby były niesprzeczne.
  
  Z pierwszego: a = 1
  Z drugiego: c = 4 - 2b. Podstawiam c do trzeciego:
  5 - b^2 - 2b*(4-2b) = 0; stąd, po uporządkowaniu:
  3b^2 - 8b + 5 = 0
  delta = 8^2 - 4*3*5 = 4 = 2^2
  b1 = (8 - 2) / 6 = 1; b2 = (8 + 2) / 6 = 5 / 3.
  Ponieważ c = 4 - 2b, mam też 2 rozwiązania na c:
  c1 = 4 - 2*1 = 2; c2 = 4 - 2 * (5/3) = 2/3.
  Sprawdzam, które pary spełniają ostatnie równanie.
  b = 1, c = 2
  -2 + 1^2 * 2 = 0 TAK
  -2 + (5/3)^2 * (2/3) = -4/27 NIE
  Odrzucam drugą parę, pozostaje:
  a = 1; b = 1; c = 2
  Sprawdzenie:
  P(x) = x^3 -4x^2 +5x - 2
  Q(x) = (x-1)^2 * (x-2) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2. Zgadza się.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie