Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.4.2011 (13:22)

  f(x) = x^2 + 10x + 8 ln|x|
  
  Funkcja, jako suma funkcji ciągłych, jest ciągła w całej swojej dziedzinie, to znaczy wszędzie poza x = 0,które nie może być argumentem logarytmu. Dziedzina:
  
  D = R - {0}
  
  Miejsc zerowych nie da się wyznaczyć w sposób analityczny, przybliżone rozwiązanie daje dwa miejsca zerowe (patrz wykres w załączniku)
  a1 = około -7,91; x2 = około 0,51
  
  Asymptoty: Dla x = 0 mamy asymptotę pionową. Ponieważ pierwsza część wyrażenia (czyli x^ +10x) zeruje się w x = 0, funkcja zachowuje się jak ln|x| czyli dąży do minus nieskonczoności z lewej i prawej strony x = 0.
  Dla x dążącego do + lub - nieskonczoności obie funkcje dążą do + nieskonczoności, brak innych asymptot.
  
  Ekstrema:
  f'(x) = 2x + 10 + \frac{8}{x}
  Porównanie f'(x) = 0 po pomnożeniu przez x daje równanie:
  2x^2 +10x + 8 = 0.
  Delta = 100 - 4*2*8 = 36 = 6^2
  x1 = (-10-6)/4 = -4; x2=(-10+6)/4 = -1
  Ekstrema, w przeciwieństwie do miejsc zerowych, są dokładnie określone. Liczymy 2-gą pochodną:
  f''(x) = 2 -\frac{8}{x^2}
  Dla x = -4 jest f"(x) = 2 - 8/16 = 3/2 > 0 - mamy minimum
  Dla x = -1 jest f"(x) = 2 - 8/1 = -6 < 0 mamy maksimum.
  
  Wartości funkcji w ekstremach:
  f(-4) = 4^2 + 10*(-4) + 8*ln(4) = około -12,9
  f(-1) = 1^2 + 10*(-1) + 8* ln(1) = -9
  
  Nie pamiętam, co jeszcze się tam robiło. Wykres, jak wspomniałem - w załączniku.

  Załączniki

  • untitled1.pdf (26 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie