Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.4.2011 (12:12)

  cw6 (posłuży do cw5)
  Weź trójkąt prostokątny, który zbudowany jest z:
  - przekątnej podstawy (długość d, obliczymy dalej)
  - krawędzi bocznej sześcianu (długość a)
  - przekątnej sześcianu - to jest przeciwprostokątna tego trójkąta.
  
  Korzystamy dwukrotnie z tw. Pitagorasa. Najpierw obliczamy długość d przekątnej podstawy. Podstawa jest kwadratem o boku równym a, więc
  d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
  Obliczamy długość p przekątnej sześcianu. Przypominam, że przyprostokątne trójkąta, o którym pisałem na początku, to "d" i "a".
  p = \sqrt{a^2 + d^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
  
  Czyli przekątna sześcianu o boku a ma długość a * pierwiastek(3).
  Znając długość p (część b zadania) możemy obliczyć bok a.
  a = \frac{p}{\sqrt{3}}
  Pole powierzchni S sześcianu to 6 * a^2 czyli, podstawiając "a" z powyższego wzoru:
  S = 6a^2 = 6\cdot\left(\frac{p}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6\cdot\frac{p^2}{3} = 2p^2
  
  cw5. Korzystając w wyników cw6 długość przekątnej p wynosi
  p = 10\sqrt{3}
  
  Objętość sześcianu to bok do potęgi 3. Natomiast bok - jak wynika z cw6, to przekątna dzielona przez pierwiastek(3), Czyli objętość V wynosi
  V = a^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}
  
  cw8-b
  Stosujemy analogiczny sposób jak w cw6. Najpierw obliczamy długość d przekątnej podstawy, będącej prostokątem o bokach a, b.
  d = \sqrt{a^2 + b^2}
  Następnie tworzymy taki sam trójkąt, jak w cw6, przy czym jego przyprostokątne to d, c, przeciwprostokątna to szukana długość przekątnej p.
  p = \sqrt{c^2 + d^2} = \sqrt{c^2 + (\sqrt{a^2+b^2})^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
  
  Stosujemy ten wzór do prostopadłościanu 3 x 4 x 5.
  p = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
  
  cw9.
  Korzystamy ze wzoru z cw8-b na długość p przekątnej prostopadłościanu.
  Od razu można rozwiązać przypadek d dla n kostek. Taki prostopadłościan ma krawędzie podstawy a = 1, b = 1, wysokość c = n. Ze wzoru:
  p = \sqrt{1^2 + 1^2 + n^2} = \sqrt{2 + n^2}
  Stosujemy wzór dla n=2, 3 lub 5.
  a) p = \sqrt{2 + 2^2} = \sqrt{6}
  b) p = \sqrt{2 + 3^2} = \sqrt{13}
  c) p = \sqrt{2 + 5^2} = \sqrt{29}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie