Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.4.2011 (13:06)

  Zad 1.
  Narysuj trójkąt równoboczny o boku 2 i jego wysokość. Dzieli ona trójkąt na 2 trójkąty prostokątne.
  Weźmy jeden z tych trójkątów. Przeciwprostokątna jest równa 2, krótsza przyprostokątna, jako połowa boku pierwotnego trójkąta ma długość 1, a długość L dłuższej przyprostokątnej wyznaczamy z tw. Pitagorasa:
  L = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}.
  Kąt 30 stopni znajduje się naprzeciwko krótszej przyprostokątnej, zatem jego sinus to stosunek krótszej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej dlatego
  sin 30 = 1 / 2.
  Z kolei kąt 60 stopni jest naprzeciwko dłuższej przyprostokątnej (tej o długości L, policzonej wyżej), dlatego
  sin 60 = pierwiastek(3) / 2.
  
  Zad 2.
  Są gotowe wzory na sin i cos w zależności od tangensa - patrz podręcznik lub sieć:
  \sin\alpha = \frac{tg\alpha}{\sqrt{1 + tg^2\alpha}} = \frac{\frac{5}{12}}{\sqrt{1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2}} = \frac{\frac{5}{12}}{\sqrt{1 + \frac{25}{144}}} = \frac{\frac{5}{12}}{\sqrt{\frac{169}{144}}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{13}{12}} = \frac{5}{13}
  \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}} = \frac{1}{\frac{13}{12}} = \frac{12}{13}
  (albo kosinus z jedynki trygonometrycznej jako pierwiastek z 1 - sinus^2).
  
  Zad 3a.
  Lewa strona: podnoszę nawias do kwadratu, korzystam z "jedynki trygonometrycznej:
  Lewa = \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha - 1 = 1 - 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha
  1 - 1 = 0 i dostajemy prawą stronę.
  
  Zad 3b.
  Lewa strona: wymnażam ułamki ,korzystam z "jedynki trygonometrycznej, upraszczam kosinus
  Lewa = \frac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1-\sin^\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=ctg\alpha
  i mam prawą stronę.
  
  Zad 4a, 4b razem.
  Jest gotowy wzór, ale może nie wolno go używać. Robimy na piechotę.
  Zależnie od nauczyciela wzór funkcji liniowej może być taki:
  y = ax + b albo taki
  Ax + By + 1 = 0. Załóżmy, że używamy tego pierwszego wzoru. Jeżeli nie, to metoda jest identyczna, tylko obliczenia inne. Dążymy do znalezienia współczynników a, b.
  Punkt A ma należeć do wykresu funkcji więc podstawiam jego współrzędne x, y do równania y = ax+b.
  3 = a * (-4) + b
  To samo robię z punktem B
  -3 = a * 5 + b
  Dostaję układ równań, który trzeba rozwiązać. Odejmuję stronami drugie równanie od pierwszego, upraszczając b.
  3 - (-3) = a * (-4 -5) czyli -9a = 6 więc a = -2/3
  Wstawiam a do 1-go równania i obliczam b:
  b = 3 + 4a = 3 + 4*(-2/3) = 1/3.
  Równanie prostej: y = (-2/3)x + 1/3
  
  Sprawdzam, czy C = (-10,8) należy do tej prostej. Podstawiam x = -10 do równania prostej i patrzę, czy wyjdzie 8.
  y = (-2/3) * (-10) + 1/3 = 20/3 + 1/3 = 21/3 = 7. Nie należy
  
  Zad 5a. Lewą stronę podnoszę do kwadratu, po prawej wymnażam nawiasy
  4x^2 - 12x + 9 = 1 - 2x + 8 - 8x
  Porządkuję, przenosząc wszystko na lewą stronę
  4x^2 -2x = 0.
  To jest równanie kwadratowe do rozwiązania. Wyciągam x przed nawias:
  x * (4x - 2) = 0
  x1 = 0; x2 = 1/2
  
  Zad 5b. Mnoże obie strony przez 30, aby się pozbyć ułamków, podnoszę do kwadratu co się da, porządkuję, przenoszę wszystko na jedną stronę i rozwiązuję powstałe równanie. Za dużo pisania, poza tym jest w treści chyba błąd - przy (x+5)/2 powinien być kwadrat w liczniku, wtedy wychodzi prosto:
  5x + 25/2 = 0, stąd x = -5/2.
  
  Zad 6. Mnożę obie strony przez 6, podnoszę do kwadratu co się da, przenoszę wszystko na lewą stronę. Za dużo pisania, ale wychodzi (kwadraty się upraszczają)
  -x/3 - 2 < 0
  Mnożę przez 3, zmieniam znak, pamiętając o zmianie znaku nierówności:
  x + 6 > 0 stąd x > -6. W innym zapisie to:
  x \in (-6, +\infty)
  
  Zad 7a. Równania
  4x-y = 2
  -3x+6y = 9
  Z pierwszego równania obliczam y = 4x-2. Drugie równanie dzielę przez 3 stronami i podstawiam y.
  -x + 2*(4x-2) = 3; stąd 7x = 7 czyli x = 1, a zatem y = 4*1-2 = 2.
  x=1; y = 2
  
  Rozwiązanie graficzne polega na narysowaniu 2 prostych. Na przykład w postaci y = ax + b, co w zastosowaniu do podanych równań oznacza proste następujące:
  y = 4x - 2
  y = x/2 + 3/2
  Punkt przecięcia tych prostych wyznacza rozwiązanie układu. Powinien być to punkt (1,2).
  
  Zad 7b. Równania:
  2(x+y) - 3(x+2) = 2
  3(x-y) + 2(y+2) = 2x - 1
  Wymnażam nawiasy, porządkuję co się da i przenoszę na lewą stronę Dostaję:
  -x +2y -8 = 0
  x - y + 5 = 0
  
  Modę na przykład dodać równania stronami, upraszcając x:
  y - 3 = 0; stąd y =3. Wstawiam y do drugiego równania i mam x - 3 + 5 = 0
  x = -2; y = 3
  Metoda graficzna - jak wyżej. Proste do narysowania to:
  y= x/2 + 4
  y = x + 5
  Punkt przecięcia powinien wypaść w punkcie (-2,3).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie