Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  banpioszy 14.4.2011 (14:45)

  Zad 1
  
  W trójkątach prostokątnych : WCA i WDB kąt ostry ma 30º więc przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej (jest takie twierdzenie);
  WB = 2 · DB = 2 · r2 = 2 · 4cm = 8 cm
  WA = 2 · AC = 2 · r1 = 2 · 3cm = 6 cm
  więc odległość środków AB = WB – WA
  AB = 8cm – 6cm = 2cm
  Odp: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 2cm.
  P.S.: drugi przypadek jest identyczny w rozwiązaniu (tylko na rysunku jest druga styczna z drugiej strony okręgów)
  
  zad 2.
  Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest równy 60 stopni, a przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma 4cm.
  
  Drugi kąt ostry ma 30º (bo 180º - (90º + 60º) = 30º)
  Zgodnie z twierdzeniem podanym w zad 1 druga przyprostokątna, oznaczmy ją „b” jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej , która będzie oznaczona „2b”.
  Z twierdzenia Pitagorasa:
  (2b)² = b² + (4cm)²
  4b² - b² = 16cm²
  3b² = 16cm² //: 3
  b² = 16/3cm²
  b = √(16/3 cm²)
  b = 4/√3 cm // mnożę licznik i mianownik przez √3 aby pozbyć się pierwiastka z mianownika
  b = (4/3 · √3 )cm
  obliczam pole : (poowa iloczynu przyprostokątnych)
  P = ½ · a · b
  P = ½ · 4cm · (4/3 · √3 )cm
  P = (8/3 · √3 )cm²
  Odp: Pole powierzchni trójkąta wynosi (8/3 · √3 )cm²
  zad 3.
  Rozpatruję trójkąt ADB;
  jeśli jeden kąt ma 60 º , to pozostałe też mają po 60º , gdyż boki AD = AB.
  Jest to trójkąt równoboczny.
  Liczę więc jego bok ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
  h = (a√3):2
  (a√3):2 = 4√3 //· 2
  a√3 = 8√3 //:√3
  a = 8 (cm)
  ….......
  W trójkącie BDC jeden kąt ma 90º , dwa pozostałe mają po 45º (bo są równe ramiona CD = CB
  W trójkącie DOC jeden kąt ma 90º , dwa pozostałe mają po 45º (bo są równe ramiona OC = OD
  |DC| ² = |DO| ² + |OC| ²
  |DC| ² =4 ² + 4 ²
  |DC| ² = 16 + 16
  |DC| ² = 16 · 2
  |DC| = √(16·2)
  |DC| = (4·√2) cm = BC
  Obliczam obwód
  |AB| + |AD| + |BC| + |DC| = 8cm + 8cm + (4·√2) cm + (4·√2) cm =
  = (16 + 8·√2) cm
  zad 4.
  Według załączonego rysunku „trapez.jpg”
  Dla uproszczenia oznaczam:
  AD = r, CB = r, AB = a, DC = b, BD = p = 5√3cm.
  …............
  Ponieważ kąt ostry w Δ (ABD) ma 30º to drugi kąt w tym trójkącie ma 60º .
  Zgodnie z twierdzeniem o bokach w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30 º i 60º mamy, że:
  a = 2r :
  z tw. Pitagorasa (2r)² = r² + p²
  (2r)² = r² + (5√3)²
  4r² - r² = 25·3
  3r² = 75 //:3
  r² = 25
  r = 5 (cm)
  ….
  ale : a = 2r
  a = 10 cm
  ….....
  W trapezie ABCD katy przy podstawie mają po 60º (bo równoramienny) to katy przy górnej podstawie mają po 120º , ( bo (360 – 2 · 60) : 2 )
  Trójkąt BDC jest równoramienny – DC = b = r = 5cm
  Obliczam obwód:
  a + b + r + r = 10cm + 5cm + 5cm + 5cm = 25cm
  Odp: Obwód trapezu wynosi 25cm
  zad 5.
  Dane:
  kąty w trójkącie prostokątnym ABD mają 30º i 60º
  przekątna trapezu, przeciwprostokątna w w/w trójkącie DB = p = 12cm
  …..........
  oznaczam :
  AB = a
  AD = 6cm (wg znanego twierdzenia)
  DC = b = ⅔ · a
  BC = r
  …..........
  a² + 6² = 12²
  a² = 12² - 6²
  a² = 144 - 36
  a² = 108
  a² = 36 · 3
  a = 6√3
  b = ⅔ · a = ⅔ · 6√3 = 4√3
  …............
  z wierzchołka C prowadzimy wysokość CE do podstawy dolnej – powstał trójkąt prostokątny CEB,
  w którym: CE = AD = 6cm , EB = ⅓ · a = 2√3.
  Obliczam ramię CD = r
  r² = CE ² + EB²
  r² = 6² + (2√3)²
  r² = 36 + 12
  r² = 48
  r² = 16 · 3
  r = 4√3
  ….....
  Obliczam obwód trapezu:
  a + b + AD + r = 6√3 + 4√3 + 6 + 4√3 = (6 + 14√3 )
  Odp: Obwód wynosi (6 + 14√3 ) cm

  Załączniki

  • trapez.jpg (19 KB)

  • okregi.jpg (32 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie