Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 7.4.2011 (17:22)

  Podziel zadanie na kawałki!
  Nie opłaca się robić 7 zadań za 2 punkty. Masz zadanie 6, bo napisałeś o logarytmach.
  
  \log_2(2x+5) + \log_2(x+3) = \log_2(x+7)
  
  Suma logarytmów jest logarytmem iloczynu, więc lewą stronę można zapisać jako
  
  \log_2(2x+5)(x+3)
  
  Ponieważ wszystkie logarytmy mają tą samą podstawę równanie sprowadza się do:
  
  (2x+5)(x+3) = x + 7, czyli 2x^2 + 6x + 5x + 15 = x + 7 czyli 2x^2 + 10x + 8 = 0.
  
  WAŻNE !! Zanim zaczniemy rozwiązywać powyższe równanie trzeba określić, dla jakich x równanie ma sens. Wyrażenia pod logarytmem MUSZĄ być dodatnie. Prowadzi to do 3 nierówności:
  
  2x + 5 > 0 czyli x > -5/2
  x + 3 > 0 czyli x > -3
  x + 7 > 0 czyli x > -7.
  
  Jak się te nierówności zaznaczy na osi liczbowej to najsilniejszy warunek ma postać:
  x > -5/2
  
  Ponieważ wszystkie 3 warunki muszą być jednocześnie spełnione, rozwiązania równania kwadratowego, dla których x jest <= -5/2 odrzucamy.
  
  Rozwiązujemy równanie 2x^2 + 10x + 8 = 0. Można je odzielić przez 2.
  
  x^2 + 5x + 4 = 0.
  Delta = 25 - 4 * 4 = 9, pierwiastek(delta) = 3
  
  x1 = (-5 -3) / 2 = -4. Jest to mniej niż -5/2. Odrzucamy.
  x2 = (-5 +3) / 2 = -1 Więcej niż -5/2. Akceptujemy.
  
  Odpowiedź: x = -1.
  
  Sprawdzenie:
  Lewa strona: L = log_2(2 * (-1) + 5) + log_2(-1 + 3) = log_2(3) + log_2(2).
  Prawa strona: P = log_2(-1 + 7) = log_2(6) = log_2(3 * 2) = log_2(3) + log_2(2).
  Zgadza się !
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie