Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.3.2011 (11:33)

  1) Jest tożsamością.
  Odrzucamy gdzie sin x = 0 lub 1 + cos x = 0 (czyli gdzie cos x = -1).
  Ale pierwszy warunek jest silniejszy niż drugi więc odrzucamy zbiór {k * pi}, k - całkowite.
  Dla pozostałych x rzeczywistych mamy UWAGA: Dowód trzeba przeprowadzać "od końca, tzn
  od ostatniego równania! Oznaczenie ^2 to "do kwadratu".
  
  mnożę proporcję "na krzyż" : (1 - cos x)(1 + cos x = (sin x)^2
  wymnażam nawiasy po lewej: 1 - (cos x)^2 = (sin x)^2
  przenoszę kosinus na prawo: 1 = (sin x)^2 + (cos x)^2
  prawa strona to "jedynka trygonometryczna": 1 = 1
  
  Raz jeszcza podkreślam! Wychodzimy od tożsamości 1 = 1 , zamieniamy jedynkę
  na sumę (sin x)^2 + (cos x)^2, przenosimy kosinus kwadrat itd -
  idziemy w GÓRĘ tego, co napisałem!
  
  2) Trochę źle widać w pliku png, ale jeżeli zapis jest taki:
  \sin x = \left(\frac{1}{\sin x} + ctg~x\right)(1 - \cos x)
  to jest to tożsamość. Odrzucam punkty gdzie sin x = 0 i ctg x jest nieskończony. Te zbiory
  pokrywają się więc odrzucam zbiór {k * pi}, k - całkowite.
  Ala pozostałych x rzeczywistych:
  
  Zapisuję ctg jako cos / sin i pierwszy nawias sprowadzam do wspólnego mianownika
  sin x = (1 + cos x) * (1 - cos x) / sin x
  Mnoże przez sin x obie strony: (sin x)^2 = (1 + cos x) * (1 - cos x)
  Dalej jak w zadaniu 1.
  
  3) Tożsamość pod warunkiem, że:
  tg x jest skończony, cos x jest inny od zera oraz sin x nie jest równy -1.
  Warunek z niezerowym kosinusem wyklucza punkty ze zbioru {pi/2 + k*pi} k - całkowite,
  co jest najsilniejszym warunkiem, zawiera on warunki pozostałe.
  Dla pozostałych rzeczywistych x:
  Przenoszę tg x na prawo i wyrażam go jako sin / cos.
  cos x / (1 + sin x) = 1 / cos x - sin x / cos x
  Prawa strona do wspolnego mianownika: cos x * (1 + sin x) = (1 - sin x) / cos x
  Wymnażam na krzyż proporcję: (cos x)^2 = (1 + sin x) * (1 - sin x)
  i dalej jak w zadaniu 1.
  
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie