Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  antekL1 10.3.2011 (12:52)

  Rysunku chyba nie potrzeba. Prawidłowy ostrosłup ma jako podstawę trójkąt równoboczny.
  Pole S podstawy (o boku a) możemy więc policzyć ze wzoru:
  
  S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}
  
  Aby obliczyć wysokość H zauważmy, że (ponieważ ostrosłup jest prawidłowy) rzut prostopadły jego
  wierzchołka na podstawę wypadnie w "środku" trójkąta, to znaczy w punkcie, gdzie - dla trójkąta
  równobocznego - przecinają się jego środkowe, będące jednocześnie wysokościami.
  
  Punkt ten ma tą własność, że dzieli środkowe w stosunku 2 : 1. Skorzystamy z tego,
  obliczając odległość od wierzchołka trójkąta do punktu przecięcia środkowych. Ponieważ środkowa
  jest w tym wypadku także wysokością stosujemy wzór na wysokość trójkąta równobocznego
  o boku a i bierzemy 2/3 tej wartości. Oznaczmy szukaną odległość przez d. Wtedy:
  
  d=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}
  
  Zauważ teraz, że rzut krawędzi bocznej ostrosłupa na podstawę przebiega w naszym zadaniu właśnie
  wzdłuż omawianej wyżej środkowej. Wobec tego kąt 30 stopni, o którym mowa w zadaniu,
  jest kątem między krawędzią boczną a środkową. Wysokość H ostrosłupa jest 3-cim bokiem
  powstałego trójąta prostokątnego. Wobec tego H /d = tg 30, czyli H = d * tg 30.
  
  Wstawiamy do wzoru na objętość V = S*H / 3 obliczone powyżej wartości S i d.
  
  V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} S d \cdot tg 30 = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}
  
  I ten wynik, 6 * pierwiastek(3) jest objętością, jeżeli się nie pomyliłem.
  
  Pozdrowienia - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie