Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 7.3.2011 (21:45)

  Cześć,
  Dla "ustalenia uwagi": Narysuj sobie ten prostokąt tak, aby pionowy bok był krótszy, a poziomy dłuższy
  Narysuj przekątne. Narysuj poziomy (równoległy do boku) odcinek przez punkt przecięcia się
  przekątnych.
  Kąt ostry pomiędzy tym odcinkiem, a przekątną oznaczam "alfa". Wtedy kąt ostry między przekątnymi
  wynosi 2 * alfa.
  Ale kąt alfa występuje także pomiędzy przekatną a dłuższym bokiem prostokąta. Znamy jego
  tangens (stosunek pionowego do poziomego boku), równy (√3)/3.
  Taki tangens ma kąt 30 stopni. Czyli alfa = 30 stopni, zatem kąt między przekątnymi wynosi 60 stopni.
  
  To jest rozwiązanie dla specyficznych danych z zadania. Ale można to rozwiązać ogólnie.
  Znamy tangens alfa, a policzyć mamy cosinus 2 * alfa. Ze wzoru na kosinus podwojonego kąta:
  \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1
  (ostatnie przejście z "jedynki trygonometrycznej". Wyraźmy teraz cosinus przez tangens:
  tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}
  Z ostatniej równości wynika, że
  \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha}.
  Podstawiamy dane. Kwadrat takgensa z zadania to 1/3. Czyli kwadrat cosinusa to 3/4.
  Wstawiamy to do wzoru na kosinus 2 * alfa i mamy:
  \cos(2\alpha) = 2\cdot\frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{2}
  Ale gdy kosinus kąta = 1/2 to kąt równa się 60 stopni. Zgadza się !
  
  Pozdrowienia - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie