Treść zadania
Autor: bartek011b Dodano: 7.3.2011 (15:53)
^ - zadaniu oznacza podniesienie do kwadratu :)
Dane są okręgi (x-2)^ + y^=4; (x-1)^ +y^=1.Wykaż, że dowolna prosta przechodząca przez punkt (0;0) przecina te okręgi odpowiednio w punktach A,B takich, że punkt B jest środkiem odcinka OA.
Komentarze do zadania
-
antekL1 7.3.2011 (17:08)
Poprawki: "jednokładność" na górze, a w ostarnim znaniu "punkt A leży w połowie odcinka OB",
gdzie B jest punktem przecięcia prostej i większego okręgu, a punkt O to (0,0).
Antek
Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.
Najlepsze rozwiązanie
Rozwiązania
-
antekL1 7.3.2011 (17:04)
Cześć,
Ze wzorów wynika, że oba okręgi przecinają się w punkcie (0,0) (sprawdź!), a ich środki leżą na osi X,
w punktach (1,0) i (2,0). Większy z okręgów jest więc przekształceniem mniejszego przez
jedkokładność (tak się to nazywa? nie jestem pewny) o środku w (0,0) i skali równej 2.
Każda cięciwa mniejszego okręgu, przechodząca przez (0,0) przekształci się więc w dwukrotnie dłuższą
cięciwę większego okręgu, co jest równoważne twierdzeniu z zadania, a jednocześnie jego dowodem.
Jeśli chcesz na wzorach, to niech "dowolna prosta" przechodząca przez (0,0) ma wzór y = ax.
Równania okręgów po wymnożeniu nawiasów, można zapisać, używając Twojej notacji, jako:
x^ -4x +y^ = 0 oraz x^ -2x + y^ = 0. Podstawiamy równanie prostej zamiast y:
x^ -4x +a^ x^ = 0 oraz x^ -2x + a^ x^ = 0.
Rowwiązaniami są punkt (0,0) i jakiś inny. Jeżeli x nie równa się zero, to dzielimy mażne z równań
przez x i mamy na mniejszym okręgu punkt xA ze wzoru: (a^ + 1) xA = 2, czyli xA = 2 / (a^2 + 1)
na większym punkt xB ze wzoru (a^ + 1) xB = 4, czyli xB = 4 / (a^2 + 1).
Jak widać xB = 2 xA. Ponieważ y = ax, to yB = 2 yA. Stąd punkt A na mniejszym okręgu jest połową
odcinaka OA.
AntekDodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie
Podobne zadania
Pilne Położenie prostej i okręgu Przedmiot: Matematyka / Liceum | 1 rozwiązanie | autor: pako2411 14.4.2010 (17:56) |
WEKTORY - PILNE Przedmiot: Matematyka / Liceum | 1 rozwiązanie | autor: djmikuss 16.4.2010 (09:32) |
PILNE ! Przedmiot: Matematyka / Liceum | 1 rozwiązanie | autor: nikola29 16.4.2010 (17:18) |
pilne na jutro Przedmiot: Matematyka / Liceum | 1 rozwiązanie | autor: kasiaH171 22.4.2010 (19:59) |
pilne Przedmiot: Matematyka / Liceum | 1 rozwiązanie | autor: kasiaH171 22.4.2010 (19:56) |
Podobne materiały
Przydatność 60% "Bo wykonać mi trzeba dzieło wielkie, pilne, bo z tych kruszców dla siebie serce wykuć muszę [...]" (L. Staff). Czy człowiek może być kowalem swojego
WSTĘP. A. Znane przysłowie mówi, że każdy jest kowalem swojego losu. Mądrość ludowa każe wierzyć w możliwość kreowania własnego życia, nadawania mu kształtu zbliżonego do naszych marzeń i pragnień. Przekonanie to wydaje się bliskie także L. Staffowi, którego słowa stanowią inspirację niniejszych rozważań. Poeta, czyniąc bohaterem wiersza symbolicznego kowala -...
0 odpowiada - 0 ogląda - 2 rozwiązań
0 0
52ewa 7.3.2011 (16:38)
W załączniku
Załączniki
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie