Treść zadania

bartek011b

^ - zadaniu oznacza podniesienie do kwadratu :)
Dane są okręgi (x-2)^ + y^=4; (x-1)^ +y^=1.Wykaż, że dowolna prosta przechodząca przez punkt (0;0) przecina te okręgi odpowiednio w punktach A,B takich, że punkt B jest środkiem odcinka OA.

Zgłoś nadużycie

Komentarze do zadania

  • Poprawki: "jednokładność" na górze, a w ostarnim znaniu "punkt A leży w połowie odcinka OB",
    gdzie B jest punktem przecięcia prostej i większego okręgu, a punkt O to (0,0).
    Antek

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Najlepsze rozwiązanie

Rozwiązania

  • antekL1

    Cześć,
    Ze wzorów wynika, że oba okręgi przecinają się w punkcie (0,0) (sprawdź!), a ich środki leżą na osi X,
    w punktach (1,0) i (2,0). Większy z okręgów jest więc przekształceniem mniejszego przez
    jedkokładność (tak się to nazywa? nie jestem pewny) o środku w (0,0) i skali równej 2.

    Każda cięciwa mniejszego okręgu, przechodząca przez (0,0) przekształci się więc w dwukrotnie dłuższą
    cięciwę większego okręgu, co jest równoważne twierdzeniu z zadania, a jednocześnie jego dowodem.

    Jeśli chcesz na wzorach, to niech "dowolna prosta" przechodząca przez (0,0) ma wzór y = ax.
    Równania okręgów po wymnożeniu nawiasów, można zapisać, używając Twojej notacji, jako:
    x^ -4x +y^ = 0 oraz x^ -2x + y^ = 0. Podstawiamy równanie prostej zamiast y:
    x^ -4x +a^ x^ = 0 oraz x^ -2x + a^ x^ = 0.
    Rowwiązaniami są punkt (0,0) i jakiś inny. Jeżeli x nie równa się zero, to dzielimy mażne z równań
    przez x i mamy na mniejszym okręgu punkt xA ze wzoru: (a^ + 1) xA = 2, czyli xA = 2 / (a^2 + 1)
    na większym punkt xB ze wzoru (a^ + 1) xB = 4, czyli xB = 4 / (a^2 + 1).

    Jak widać xB = 2 xA. Ponieważ y = ax, to yB = 2 yA. Stąd punkt A na mniejszym okręgu jest połową
    odcinaka OA.

    Antek

Podobne zadania

pako2411 Pilne Położenie prostej i okręgu Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: pako2411 14.4.2010 (17:56)
djmikuss WEKTORY - PILNE Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: djmikuss 16.4.2010 (09:32)
nikola29 PILNE ! Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: nikola29 16.4.2010 (17:18)
kasiaH171 pilne na jutro Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: kasiaH171 22.4.2010 (19:59)
kasiaH171 pilne Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: kasiaH171 22.4.2010 (19:56)

Podobne materiały

Przydatność 60% "Bo wykonać mi trzeba dzieło wielkie, pilne, bo z tych kruszców dla siebie serce wykuć muszę [...]" (L. Staff). Czy człowiek może być kowalem swojego

WSTĘP. A. Znane przysłowie mówi, że każdy jest kowalem swojego losu. Mądrość ludowa każe wierzyć w możliwość kreowania własnego życia, nadawania mu kształtu zbliżonego do naszych marzeń i pragnień. Przekonanie to wydaje się bliskie także L. Staffowi, którego słowa stanowią inspirację niniejszych rozważań. Poeta, czyniąc bohaterem wiersza symbolicznego kowala -...

0 odpowiada - 0 ogląda - 2 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji