Treść zadania

1. Znaleźć sumę i przekrój rodziny zbiorów A_{t} ={x "należy" R: sinx=t}, jeżeli t przebiega
a) zbiór liczb naturalnych N,
b) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
2. Niech a_{n} = \frac{(-1) ^{n-1} }{sqrt(n)} . Wskazać taką permutację sigma zbioru liczb naturalnych, że szereg (szereg od n=1 do nieskończoności) a_{sigma(n)} jest rozbieżny.
3.Pokazać, że dla dowolnych podzbiorów A _{1} , ..., A _{n} przestrzeni liniowej (nad ciałem liczb rzeczywistych R) i dowolnych skalarów t _{1} , ..., t _{n} zachodzi równość
conv( suma od k=1 do n t _{k} A _{k} )= suma od k=1 do n t _{k} conv A _{k} .
4. Wykazać, ze układ wektorów e _{1} , e _{2} , ..., e _{n} w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie funkcje liniowe f ^{1} , f ^{2} ,...,f ^{n} należy V*, że det(f ^{i} (e _{j} )) \neq 0.
5. Sprawdzić, czy metryka d w przestrzeni l _{ nieskończoność} wszystkich ciągów ograniczonych określona wzorem
d((x _{n} ), (y _{n} ))=sup (n należy N) 2^{-n}|x _{n} -y _{n} | jest równoważna z naturalną metryką w tej przestrzeni, tzn z metryką
d _{ nieskończoność } ((x _{n} ), (y _{n} ))=sup (n należyN)|x _{n} -y _{n} |. Jeżeli nie to wskazać tę, która jest silniejsza.