Treść zadania

Rozwiązania

• 

  4 0

  antekL1 10.6.2021 (13:45)

  Zadanie 1.
  Zobaczmy, czy zadanie jest rozwiązywalne. Sprawdzamy w jakim czasie satelita okrąży Księżyc będąc na odbicie "tuż nad powierzchnią". Zatacza on wtedy okrąg o promieniu
  R = 1600 km
  z prędkością v1 = 1.7 km/s
  Potrzebny czas t1 wynosi:
  t1 = 2 pi R / v1 = 2 pi * 1600 / 1.7 = około 6000 sekund czyli 1 i 2/3 godziny.
  Zadanie ma więc sens. Teraz właściwe rozwiązanie:
  
  Oznaczmy przez H szukaną wysokość.
  Odległość satelity od środka Księżyca wynosi więc R + H.
  Satelita porusza się z prędkością v2 i okrąża Księżyc w czasie t2 = 6 godzin.
  Długość jego orbity = 2 pi (R + H).
  Daje to pierwsze równanie (mamy niewiadome v2 i H)
  
  2 pi (R + H) = v2 * t2 <------------------------- pierwsze równanie
  
  Aby dostać drugie równanie zauważ proszę, że przyspieszenie grawitacyjne na orbicie jest przyspieszeniem dośrodkowym. Z jednej strony przyspieszenie grawitacyjne g wynosi:
  
  g = G M / (R+H)^2
  gdzie:
  G - stała grawitacyjne; M - masa Księżyca; ^2 oznacza "do kwadratu".
  
  Z drugiej strony "g" jest przyspieszeniem dośrodkowym czyli
  
  g = v2^2 / (R + H)
  
  Porównujemy prawe strony:
  
  G M / (R + H)^2 = v2^2 / (R + H) ; stąd po pomnożeniu przez (R+H)^2
  
  G M = v2^2 (R + H)
  
  Aby pozbyć się iloczynu G M zapisujemy takie samo równanie dla satelity tuż nad powierzchnią:
  
  G M = v1^2 R
  --------------------- porównujemy prawe strony:
  
  v2^2 (R + H) = v1^2 R <-------------------- drugie równanie
  
  Z pierwszego równania mamy v2 = 2 pi (R + H) / t2
  Podnosimy to do kwadratu i wstawiamy do drugiego równania
  
  4 pi^2 (R + H)^2 (R + H) / t2^2 = v1^2 R ; stąd:
  (R + H)^3 = v1^2 R t2^2 / (4 pi^2)
  
  Wyciągamy pierwiastek stopnia 3 z obu stron:
  
  R + H = pierw_stopnia_3 [ v1^2 R t2^2 / (4 pi^2) ] ; wyliczamy szukane H
  
  H = pierw_stopnia_3 [ v1^2 R t2^2 / (4 pi^2) ] - R
  
  Sprawdzamy wymiar [ H ]. Pod pierwiastkiem są (km/s)^2 * s^2 * km czyli km^3.
  Wynik dostaniemy w kilometrach. Wstawiamy dane.
  Czas 6 godzin zamieniamy na sekundy; t2 = 6 * 3600 = 21600 s
  
  H = pierw_stopnia_3 [ 1.7^2 * 1600 * 21600^2 / (4 pi^2) ] - 1600
  H = około 2200 km
  =======================================================
  
  Zadanie 2.
  Użyjemy wzoru na prędkość orbitalną wyprowadzonego w poprzednim zadaniu:
  
  G M = R v^2 ; gdzie:
  
  G = 6.7 * 10^(-11) N * m^2 / kg^2 - stała grawitacyjna
  M - szukana masa czarnej dziury
  v - prędkość gwiazdy na orbicie o promieniu R
  
  Obliczymy najpierw prędkość v dzieląc obwód orbity 2pi R przez okres obiegu T
  W układzie SI mamy dane:
  R = 500 * 10^6 * 10^3 m = 5 * 10^11 m
  T = 2 * 30 * 24 * 3600 = 5184000 sekund (licząc miesiąc po 30 dni)
  
  v =2pi R / T = 2pi * 5 * 10^11 / 5184000 = około 96451 m/s
  
  Z początkowego wzoru znajdujemy szukaną masę M
  
  M = R v^2 / G ; wstawiamy dane:
  
  M = 5 * 10^11 * 96451^2 / [ 6.7 * 10^(-11) ] = około 6.9 * 10^31 kg
  
  Sprawdzamy wymiar [ M ]
  [ M ] = m * (m/s)^2 / [ N * m^2 / kg^2 ] = m^3/s^2 / [ kg * m/s^2 * m^2 / s^2 ]
  [ M ] = kg, wynik w kilogramach, zgadza się.
  =======================================================
  
  Zadanie 3.
  Opowiadania s.f mają na to rozwiązanie:
  Trzeba zbudować stację w kształcie pierścienia i wprowadzić go w ruch obrotowy.
  Wtedy siła ODśrodkowa (przy odpowiednio dobranej prędkości obrotu)
  będzie odczuwalna jako zamiennik siły ziemskiej grawitacji.
  =======================================================

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj