Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 6.1.2021 (19:20)

  Proszę zamieść zadanie 16 oddzielnie bo wymaga dokładnego rysunku,
  kolega Werner lubi takie zadania :)
  
  Zadanie 17 w wersji oryginalnej.
  Dodajemy do urny "n" kul czarnych, razem jest n + 5 kul.
  Losujemy dwie kule bez powtórzeń.
  Pierwszą kulę losujemy na n+5 sposobów, drugą na n+4 sposoby.
  Ponieważ kolejność nie gra roli (są to kombinacje) utożsamiamy pary (a,b) i (b,a)
  dlatego dzielimy iloczyn ilości sposobów przez 2
  Ilość zdarzeń elementarnych:
  
  | Omega | = (n+5)(n+4) / 2
  
  [ można też to policzyć jako symbol_Newtona (n + 5 nad 2) ]
  
  Ilość zdarzeń sprzyjających:
  Białą kulę losujemy na 5 sposobów, czarną na n sposobów więc:
  
  | A | = 5n
  
  Prawdopodobieństwo z zadania:
  
  p(A) = | A | / | Omega | = 10n / [ (n+5)(n+4) ]
  
  Szukamy maksimum p(A) w zależności od n. Podejrzewam n = 5, ale zobaczmy.
  Liczymy pochodną:
  dp(A) / dn = [ 10(n+5)(n+4) - 10n * (n+5 + n+4) ] / [ (n+5)^2 (n+4)^2 ]
  
  Aby pochodna = 0 licznik ma się równać 0.
  Po uproszczeniu licznika mamy:
  n^2 - 20 = 0 ; stąd: n = pierwiastek(20) = około 4,47
  
  Ponieważ n ma być całkowite sprawdzamy okolicę: n=4 lub n=5
  Dla n=4 dostajemy p(A) = 10*4 /(9*8) = 5 / 9
  Dla n=5 dostajemy p(A) = 10*5 /(10*9) = 5 / 9
  
  Wobec tego poprawne są obie odpowiedzi: n = 4 lub n = 5
  ==================================
  
  Zadanie 17 w wersji B.
  Wykres tej paraboli ma kształt odwróconego "U", przechodzącego przez punkty
  (0;9), (-3;0), (3;0)
  Interesuje na tylko zakres x od 0 do 3. Znajdujemy równanie stycznej do paraboli
  w punkcie x0 (wtedy y0 = -x0^2 + 9)
  
  Liczymy pochodną y ' = - 2x
  Wartość pochodnej w punkcie x0 wynosi a = - 2x0.
  Jest to współczynnik "a" w równaniu prostej y = a x + b
  Ta prosta jest styczna, czyli dla x = x0 musi być y = y0, stąd:
  
  y0 = - 2x0 * x0 + b <------------- pierwsze równanie
  y0 = -x0^2 + 9 <---------------- drugie równanie, z paraboli
  Porównujemy prawe strony i wyliczamy "b"
  b = x0^2 + 9
  
  Mamy równanie prostej stycznej: y = -2x0 * x + x0^2 + 9
  Prosta ta przecina osie układu współrzędnych w punktach (x1;0) i (0; y1).
  Przecięcie z osią OY: Podstawiamy x = 0 do równania prostej
  y1 = x0^2 + 9
  Przecięcie z osią OX: Podstawiamy y = 0; czyli -2x0 * x1 + x0^2 + 9 = 0; stąd:
  x1 = (x0^2 + 9) / (2x0)
  
  Pole trójkąta o który chodzi w zadaniu to P = x1 * y1 / 2.
  Darujmy sobie to dzielenie przez 2. Liczymy minimum funkcji:
  
  P(x0) = (x0^2 + 9) * (x0^2 +9 ) / (2x0)
  
  Pochodna (po uproszczeniach, pozwól, że pominę szczegóły)
  P ' (x0) = (3/2) * (x0^2 + 6 - 27 / x0^2) = 0
  
  To da się rozwiązać :) Podstawiamy t = x0^2 i mamy:
  t + 6 - 27 / t = (t^2 + 6t - 27) / t = 0.
  Licznik ma być zerem, rozwiązujemy równanie: t^2 + 6t - 27 = 0
  Dostajemy t1 = -9 (odrzucamy, bo ujemne) i t2 = 3
  Wobec tego x0^2 = 3
  
  Szukany punkt to (pierwiastek(3); 6)
  Zauważ, że licznik t^2 + 6t - 27 przedstawia parabolę w kształcie "U"
  więc przy przechodzeniu przez t = 3 z lewej na prawą stronę
  pochodna zmienia znak z minus na plus, jest więc to MINIMUM funkcji P(x0)
  ==================================
  
  Zadanie 18.
  Też proszę zamieść oddzielnie, bo ten tekst stał się za długi, poza tym przydałby się rysunek :)
  ==================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie