Zadanie 12.
Równanie okręgu z zadania to (x-2)^2 + y^2 = 9
Mamy układ równań: równanie okręgu i równanie prostej.
Z równania prostej y = - mx + 3 ; wstawiamy y^2 do równania okręgu
(x - 2)^2 + (-mx + 3)^2 = 9 ; porządkujemy:
(m^2 + 1) x^2 - (6m + 4) x + 4 = 0
Ponieważ prosta przecina okrąg tylko w jednym punkcie to powyższe równanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik "Delta" = 0
Zadanie 13.
Wysokość tego trójkąta jest równa h = 4 * sin(alfa),
połowa podstawy to a/2 = 4 * cos(alfa), czyli pole P wynosi:
P = h * a/2 = 16 * sin(alfa) * cos(alfa) = 8 * sin(2 alfa)
Dziedzina: Kąt alfa należy do (0; pi/2) (przedział otwarty z obu stron).
Wykres proszę zrób sama :)
Największą wartość ma pole P gdy sin(2 alfa) jest największy czyli dla kąta
2 alfa = pi / 2 stąd alfa = pi / 4
===============================
Zadanie 14.
Podany wielomian musi mieć postać:
w(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x3) czyli po podstawieniu x2, x3 mamy:
w(x) = (x - x1)^2 (x - x1 + 6) ; wymnażamy:
w(x) = x^3 (-3x1 + 6) x^2 + (3x1^2 - 12x1) x - x1^3 + 6x1^2
Porównujemy to z postacią: w(x) = x^3 + px + q
Z porównania wyrazów przy jednakowych potęgach x dostajemy:
-3x1 + 6 = 0
3x1^2 - 12x1 = p
-x1^3 + 6x1^2 = q
Z pierwszego równania x1 = 2 ; wstawiamy to do pozostałych równań;
p = -12; q = 16 czyli
p + q = 4
log_(1/2) (4) = -2 gdyż (1/2)^(-2) = 2^2 = 4
===============================
Zadanie 15.
Przeciwprostokątna początkowego (największego) trójkąta wynosi (tw. Pitagorasa)
d = pierwiastek(a^2 + a^2) = a * pierwiastek(2)
Wysokość tego trójkąta jest równa połowie przeciwprostokątnej czyli
h1 = a * pierwiastek(2) / 2
Jednocześnie jest to bok mniejszego trójkąta, którego wysokość h2
obliczamy analogicznie, mnożąc bok przez pierwiastek(2) / 2. Stąd:
h2 = a * [ pierwiastek(2) / 2 ]^2
Kolejna wysokość to h3 = a * [ pierwiastek(2) / 2 ]^3 i tak dalej.
Suma S długości czerwonych odcinków wynosi więc:
S = a * (pierwiastek(2) / 2 ) * [ 1 + (pierwiastek(2) / 2) + (pierwiastek(2) / 2)^2 + ... ]
Wyrażenie w nawiasach [...] to ciąg geometryczny.
Pierwszy wyraz = 1, iloraz = pierwiastek(2) / 2. Wobec tego:
S = a * (pierwiastek(2) / 2) * [ 1 / (1 - (pierwiastek(2) / 2)) ] ; co po uproszczeniu daje:
S = a * pierwiastek(2) / [ 2 - pierwiastek(2) ]
Można się jeszcze pozbyć niewymierności z mianownika
S = a * pierwiastek(2) * [ 2 + pierwiastek(2) ] / (4 - 2) S = a * [ pierwiastek(2) + 1 ] = około 2,41 * a
======================================================
W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.
lub
zarejestruj nowe konto.
3 0
antekL1 6.1.2021 (18:06)
Zadanie 12.
Równanie okręgu z zadania to (x-2)^2 + y^2 = 9
Mamy układ równań: równanie okręgu i równanie prostej.
Z równania prostej y = - mx + 3 ; wstawiamy y^2 do równania okręgu
(x - 2)^2 + (-mx + 3)^2 = 9 ; porządkujemy:
(m^2 + 1) x^2 - (6m + 4) x + 4 = 0
Ponieważ prosta przecina okrąg tylko w jednym punkcie to powyższe równanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik "Delta" = 0
Delta = (6m + 4)^2 - 4 * (m^2 + 1) * 4 = 0 ; stąd:
20 m^2 + 48 m = 0
Rozwiązaniami są m1 = 0; m2 = - 12 / 5
===============================
Zadanie 13.
Wysokość tego trójkąta jest równa h = 4 * sin(alfa),
połowa podstawy to a/2 = 4 * cos(alfa), czyli pole P wynosi:
P = h * a/2 = 16 * sin(alfa) * cos(alfa) = 8 * sin(2 alfa)
Dziedzina: Kąt alfa należy do (0; pi/2) (przedział otwarty z obu stron).
Wykres proszę zrób sama :)
Największą wartość ma pole P gdy sin(2 alfa) jest największy czyli dla kąta
2 alfa = pi / 2 stąd alfa = pi / 4
===============================
Zadanie 14.
Podany wielomian musi mieć postać:
w(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x3) czyli po podstawieniu x2, x3 mamy:
w(x) = (x - x1)^2 (x - x1 + 6) ; wymnażamy:
w(x) = x^3 (-3x1 + 6) x^2 + (3x1^2 - 12x1) x - x1^3 + 6x1^2
Porównujemy to z postacią: w(x) = x^3 + px + q
Z porównania wyrazów przy jednakowych potęgach x dostajemy:
-3x1 + 6 = 0
3x1^2 - 12x1 = p
-x1^3 + 6x1^2 = q
Z pierwszego równania x1 = 2 ; wstawiamy to do pozostałych równań;
p = -12; q = 16 czyli
p + q = 4
log_(1/2) (4) = -2 gdyż (1/2)^(-2) = 2^2 = 4
===============================
Zadanie 15.
Przeciwprostokątna początkowego (największego) trójkąta wynosi (tw. Pitagorasa)
d = pierwiastek(a^2 + a^2) = a * pierwiastek(2)
Wysokość tego trójkąta jest równa połowie przeciwprostokątnej czyli
h1 = a * pierwiastek(2) / 2
Jednocześnie jest to bok mniejszego trójkąta, którego wysokość h2
obliczamy analogicznie, mnożąc bok przez pierwiastek(2) / 2. Stąd:
h2 = a * [ pierwiastek(2) / 2 ]^2
Kolejna wysokość to h3 = a * [ pierwiastek(2) / 2 ]^3 i tak dalej.
Suma S długości czerwonych odcinków wynosi więc:
S = a * (pierwiastek(2) / 2 ) * [ 1 + (pierwiastek(2) / 2) + (pierwiastek(2) / 2)^2 + ... ]
Wyrażenie w nawiasach [...] to ciąg geometryczny.
Pierwszy wyraz = 1, iloraz = pierwiastek(2) / 2. Wobec tego:
S = a * (pierwiastek(2) / 2) * [ 1 / (1 - (pierwiastek(2) / 2)) ] ; co po uproszczeniu daje:
S = a * pierwiastek(2) / [ 2 - pierwiastek(2) ]
Można się jeszcze pozbyć niewymierności z mianownika
S = a * pierwiastek(2) * [ 2 + pierwiastek(2) ] / (4 - 2)
S = a * [ pierwiastek(2) + 1 ] = około 2,41 * a
======================================================
W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie