Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 18.12.2020 (23:58)

  W załączniku "rbok.zip" są pliki:
  rownoleglobok.png (rysunek do zadania)
  rownoleglobok.ggb (plik programu GeoGebra, polecam go !!!, Patrz niżej.
  
  Rysujemy równoległobok którego bok AB ma długość 2 razy większą niż AD.
  
  [ Może być to dowolny równoległobok, jeśli użyjesz "Geogebra" to punkt D
  umieściłem na niewidocznym okręgu, można go przesuwać myszką
  i obserwować odcinki DP, PQ, QB. Oznaczenia kątów "uciekną", aż tak nie chciało mi się bawić. ]
  
  Prowadzimy dwusieczne AP i CQ oraz przekątną BD.
  Kąt alfa i beta są oznaczone na rysunku. Patrzymy na trójkąty APD i APB.
  
  Z twierdzenia sinusów:
  |PB| / sin(alfa) = |AB| / sin(beta); [ w trójkącie ABP ]
  |DP| / sin(alfa) = |AD| / sin(180 - beta); [ w trójkącie APD ]
  
  Dzielimy równania stronami i korzystamy z faktu, że sin(beta) = sin(180 - beta)
  
  |PB| / |DP| = |AB| / |AD| = 2 ; [ ta ostatnia równość wynika z treści zadania ]
  
  Ale z symetrii wynika, że |BQ| = |DP|. Wobec tego |PB| = |PQ| + |DP|
  Mamy:
  ( |PQ| + |DP| ) / |DP| = 2 ; stąd:
  |PQ| / |DP| = 1 ; czyli |PQ| = |DP| = |BQ|, co kończy dowód.
  ========================
  
  PS: Ta równość zachodzi tylko dla stosunku długości boków równoległoboku = 2,
  Rozumując analogicznie można znaleźć stosunek |PQ| / |DP|
  dla dowolnego stosunku |AB| / |AD| = k.
  Np. dla kwadratu będzie to zero.

  Załączniki

  • rbok.zip (165 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    Lunita365 21.12.2020 (10:29)

    Dziękuję bardzo za pomoc