Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.5.2020 (09:23)

  f(x) = sqrt(x) * ln x
  
  Dziedzina: Liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli D = (0 ; +oo).
  To zapewnia także istnienie pierwiastka(x).
  
  Miejsca zerowe: Ponieważ sqrt(x) > 0 dla wszystkich x należących do dziedziny
  to jedynym miejscem zerowym jest punkt gdzie ln(x) = 0 czyli x1 = 1
  
  Ekstrema: Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną iloczynu:
  f ' (x) = [ 1 / (2 sqrt(x) ] * ln(x) + sqrt(x) / x ; pierwiastek przed nawias
  f ' (x) = [ 1 / sqrt(x) ] * [ (1/2) ln(x) + 1 ]
  Pochodna się zeruje gdy drugi nawias się zeruje, czyli gdy ln(x) = -2.
  Oznacza to x_min = 1 / e^2 = około 0.135.
  Ponieważ dla x < x_min drugi nawias jest ujemny, a dla x > x_min jest dodatni
  to pochodna zmienia znak z - na +, czyli jest to minimum
  Wartość funkcji w punkcie x_min:
  f(x_min) = sqrt(1/e^2) * (-2) = -2 / e = około - 0.736
  
  Wykres: W załączniku, dla x od 0+ do 2, dalej nic ciekawego się nie dzieje.
  Pociągnij proszę czerwoną krzywą do punktu (0; 0) - patrz niżej na granice.
  
  Granice funkcji: W nieskończoności jest to oczywiście +oo, badamy w zerze:
  Przekształcamy wzór f(x) w taki sposób: f(x) = ln(x) / [ 1 / sqrt(x) ]
  Teraz licznik i mianownik są nieskończone dla x --> 0+,
  mają ciągłe pochodne itp, więc można użyć tw. de l'Hospitala.
  Liczymy oddzielnie pochodną licznika i mianownika:
  
  licznik(x) ' = 1 / x
  mianownik(x) ' = - 1 / [ 2 * sqrt(x^3) ]
  
  lim (dla x-->0) f(x) = lim (dla x-->0) (1/x) / { -1 / [ 2 * sqrt(x^3) ] } =
  = lim (dla x-->0) -2 * sqrt(x) = 0
  
  Asymptoty: Dla x ---> 0+ nie można użyć określenia "asymptota pionowa"
  bo wartość f(x) jest skończona. Ale - jak wynika z liczenia granic
  - funkcja "zachowuje się" jak pierwiastek(x) czyli w okolicy zera jest podobna do pionowej prostej.
  Ciekawiej jest w nieskończoności. Spróbujmy policzyć, czy f(x) ma ukośną asymptotę.
  Liczymy: "a" we wzorze asymptoty y = ax + b
  
  a = lim (dla x--> oo) f(x) / x = lim (dla x--> oo) ln(x) / sqrt(x)
  
  Z twierdzenia delopitala j/w (założenia spełnione) liczymy tę granicę dalej:
  = lim (dla x--> oo) (1/x) / [ 1 / (2 sqrt(x) ] = lim (dla x--> oo) 2 / sqrt(x) = 0
  
  Zauważ teraz, proszę, że f(x) dąży do poziomej prostej, bo a = 0.
  ALE warunkiem istnienia poziomej asymptoty jest SKOŃCZONA wartość
  funkcji w nieskończoności. A to NIE zachodzi, NIE MA asymptoty w oo,
  ani poziomej, ani ukośnej.
  ===================================
  
  Jeśli się pomyliłem, nie zgadzasz się z tą analizą i w razie innych pytań pisz proszę na priv. Poza tym użyłem pojęć granicy i pochodnej - nie wiem czy to wchodzi w zakres liceum, trzeba było umieścić zadanie na poziomie "studia" :))
  Albo to jest doskonała klasa mat/fiz :))

  Załączniki

  • wykres.png (2 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    sheldon00 12.5.2020 (14:03)

    Tak, o to chodziło. I faktycznie nie zauważyłam że dałam zły poziom :)
    Dzięki wielkie