Zamknij

W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia Państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczane w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej polityce prywatności.

Treść zadania

sheldon00

Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = sqrt(x) * ln x Autor edytował treść zadania 12.5.2020 (14:03), dodano - poziom Studia

Załączniki do zadania

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Najlepsze rozwiązanie

  • 1 0

    f(x) = sqrt(x) * ln x

    Dziedzina: Liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli D = (0 ; +oo).
    To zapewnia także istnienie pierwiastka(x).

    Miejsca zerowe: Ponieważ sqrt(x) > 0 dla wszystkich x należących do dziedziny
    to jedynym miejscem zerowym jest punkt gdzie ln(x) = 0 czyli x1 = 1

    Ekstrema: Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną iloczynu:
    f ' (x) = [ 1 / (2 sqrt(x) ] * ln(x) + sqrt(x) / x ; pierwiastek przed nawias
    f ' (x) = [ 1 / sqrt(x) ] * [ (1/2) ln(x) + 1 ]
    Pochodna się zeruje gdy drugi nawias się zeruje, czyli gdy ln(x) = -2.
    Oznacza to x_min = 1 / e^2 = około 0.135.
    Ponieważ dla x < x_min drugi nawias jest ujemny, a dla x > x_min jest dodatni
    to pochodna zmienia znak z - na +, czyli jest to minimum
    Wartość funkcji w punkcie x_min:
    f(x_min) = sqrt(1/e^2) * (-2) = -2 / e = około - 0.736

    Wykres: W załączniku, dla x od 0+ do 2, dalej nic ciekawego się nie dzieje.
    Pociągnij proszę czerwoną krzywą do punktu (0; 0) - patrz niżej na granice.

    Granice funkcji: W nieskończoności jest to oczywiście +oo, badamy w zerze:
    Przekształcamy wzór f(x) w taki sposób: f(x) = ln(x) / [ 1 / sqrt(x) ]
    Teraz licznik i mianownik są nieskończone dla x --> 0+,
    mają ciągłe pochodne itp, więc można użyć tw. de l'Hospitala.
    Liczymy oddzielnie pochodną licznika i mianownika:

    licznik(x) ' = 1 / x
    mianownik(x) ' = - 1 / [ 2 * sqrt(x^3) ]

    lim (dla x-->0) f(x) = lim (dla x-->0) (1/x) / { -1 / [ 2 * sqrt(x^3) ] } =
    = lim (dla x-->0) -2 * sqrt(x) = 0

    Asymptoty: Dla x ---> 0+ nie można użyć określenia "asymptota pionowa"
    bo wartość f(x) jest skończona. Ale - jak wynika z liczenia granic
    - funkcja "zachowuje się" jak pierwiastek(x) czyli w okolicy zera jest podobna do pionowej prostej.
    Ciekawiej jest w nieskończoności. Spróbujmy policzyć, czy f(x) ma ukośną asymptotę.
    Liczymy: "a" we wzorze asymptoty y = ax + b

    a = lim (dla x--> oo) f(x) / x = lim (dla x--> oo) ln(x) / sqrt(x)

    Z twierdzenia delopitala j/w (założenia spełnione) liczymy tę granicę dalej:
    = lim (dla x--> oo) (1/x) / [ 1 / (2 sqrt(x) ] = lim (dla x--> oo) 2 / sqrt(x) = 0

    Zauważ teraz, proszę, że f(x) dąży do poziomej prostej, bo a = 0.
    ALE warunkiem istnienia poziomej asymptoty jest SKOŃCZONA wartość
    funkcji w nieskończoności. A to NIE zachodzi, NIE MA asymptoty w oo,
    ani poziomej, ani ukośnej.
    ===================================

    Jeśli się pomyliłem, nie zgadzasz się z tą analizą i w razie innych pytań pisz proszę na priv. Poza tym użyłem pojęć granicy i pochodnej - nie wiem czy to wchodzi w zakres liceum, trzeba było umieścić zadanie na poziomie "studia" :))
    Albo to jest doskonała klasa mat/fiz :))

    Załączniki

    • Tak, o to chodziło. I faktycznie nie zauważyłam że dałam zły poziom :)
      Dzięki wielkie

Rozwiązania

Podobne zadania

Nieznany Wypisz własności funkcji y=cos x Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: Konto usunięte 8.4.2010 (18:17)
iwona5000 wykres funkcji kwadratowej f(x)=3(x+1)kwadrat-4 NIE MA punktów wspólnych z Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: iwona5000 17.4.2010 (11:27)
iwona5000 Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x)= x kwadrat +4x-3 w Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: iwona5000 17.4.2010 (11:31)
koziaty zbadaj czy ciąg an=3n-11 jest ciągiem arytmetycznym Przedmiot: Matematyka / Liceum 2 rozwiązania autor: koziaty 18.4.2010 (18:52)
kamcia07-15 mIEJSCE ZEROWE FUNKCJI Przedmiot: Matematyka / Liceum 1 rozwiązanie autor: kamcia07-15 18.4.2010 (20:35)

Podobne materiały

Przydatność 60% Minimalizacja funkcji logicznych

Minimalizacja funkcji logicznych

Przydatność 55% Gradient funkcji. Różniczka zupełna

Gradient funkcji. Różniczka zupełna

Przydatność 60% Własności funkcji liniowej

Jest to prezentacja multimedialna Mspp2003 mojego autorstwa spakowana w archiwum winrara. Osobiście robiłem ją na 4 z matmy także jest okej. Pozdrawiam

Przydatność 70% Sześć podstawowych funkcji wypowiedzi.

1) Funkcja informacyjna (informatywna) - polega na powiadomieniu o różnych stanach rzeczy dotyczących świata zewnętrznego lub strefy psychicznej. 2) Funkcja ekspresywna - polega na wyrażaniu poprzez wypowiedź emocji i stanów wewnętrznych osoby mówiącej. 3) Funkcja impresywna - polega na wpływaniu na odbiorcę, wywołaniu u niego określonych reakcji w postaci zachowań,...

Przydatność 50% Miejsca zerowe Funkcji Kwadratowej

zad 5,7 5,8 5,9 str 293 podręcznik I klasa liceum Prosto do matury: M. Antek, K. Belka, P. Grabowski zad 5,7 Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa 56. Wyznacz te liczby. zad 5,8 Ile boków ma wielokąt, który ma 104 przekątne? zad 5,9 Obwód rombu jest równy 116 cm, a różnica długości jego przekątnych równa się 2 cm. Oblicz długości...

0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji