Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 26.11.2017 (13:48)

  Użycie reguły de l'Hospitala ? O to chodziło ?
  
  Przykład 1.
  Lim x dąży do nieskończoność x*(x/e^x) ^(1/2)
  
  Możemy wyrażenie x*(x/e^x) ^(1/2) zapisać jako:
  
  x^(3/2) / e^Ix/2)
  
  Gdy x --> oo to licznik i mianownik też stają się nieskończone.
  Licznik i mianownik są różniczkowalne dla dużych, dodatnich x
  więc warunki stosowalności de l'Hospitala są spełnione.
  Różniczkujemy po x OSOBNO licznik i mianownik:
  
  Licznik ' = [ x^(3/2) ] ' = (3/2) x^(1/2)
  Mianownik ' = [ e^(x/2) ] ' = (1/2) e^(x/2)
  
  Teraz mamy granicę wyrażenia: [ (3/2) x^(1/2) ] / [ (1/2) e^(x/2) ]
  czyli
  lim x-->oo 3x^(1/2) / e^(x/2)
  
  Ponownie licznik i mianownik -->oo, stosujemy regułę ponownie. Teraz:
  Licznik ' = [ 3x^(1/2) ] ' = (3/2) x^( - 1/2)
  Mianownik ' = [ e^(x/2) ] ' = (1/2) e^(x/2)
  
  Mamy teraz granicę wyrażenia: 3 / [ x^(1/2) * e^(x/2) ]
  
  Licznik jest stały, mianownik --> oo, więc granicą jest ZERO
  ===============================================
  
  Przykład 2.
  Iim x dąży do minus nieskończoności x^2*(1-x)^2 / (0, 2)^x
  
  Licznik --> +oo (bo są kwadraty)
  Mianownik --> oo bo dla ujemnych x ułamek (1/5)^x staje się nieskończony.
  Licznik i mianownik są różniczkowalne dla dużych, UJEMNYCH x
  więc warunki stosowalności de l'Hospitala są spełnione.
  Różniczkujemy po x OSOBNO licznik i mianownik:
  
  Licznik ' = [ x^2*(1-x)^2 ] ' = 4x^3 - 6x^2 + 2x = 2x ( 2x^2 - 3x + 1 )
  Mianownik ' = [ (1/5)^x ] '
  
  Do pochodnej mianownika zastosujemy taki "chwyt" :
  Liczbę 1/5 zapisujemy jako: e ^ [ ln(1/5) ] (podnosimy "e" to takiej potęgi, do jakiej trzeba je podnieść, aby dostać 1/5; "ln" to logarytm naturalny ). Wtedy:
  (1/5)^x = [ e ^ ln(1/5) ]^x = e^ [ x * ln(1/5) ] ; więc pochodna mianownika to:
  Mianownik ' = [ (1/5)^x ] ' = ln(1/5) * e^ [ x * ln(1/5) ]
  
  Mamy teraz granicę wyrażenia:
  [ 4x^3 - 6x^2 + 2x ] / ( ln(1/5) * e^ [ x * ln(1/5) ] )
  
  Nadal licznik dąży do nieskończoności (teraz do - oo)
  i mianownik także, do +oo, bo zauważ, że ln(1/5) jest liczbą ujemną,
  więc wykładnik funkcji exp() dla ujemnych "x" jest dodatni.
  
  Stosujemy regułą ponownie, dostając granicę wyrażenia:
  [ 12x^2 - 12x + 2] / ( ln^2(1/5) * e^ [ x * ln(1/5) ] )
  i jeszcze raz
  [ 24x - 12 ] / ( ln^3(1/5) * e^ [ x * ln(1/5) ] )
  i jeszcze raz
  [ 24 ] / ( ln^4(1/5) * e^ [ x * ln(1/5) ] )
  
  Wreszcie licznik jest stały, mianownik --> +oo więc granicą też jest ZERO
  ===============================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj