Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 8.6.2017 (13:44)

  Ćwiczenie 6.
  Wykres f(x) masz w załączniku "wykres_f.pdf". (Skale na osiach są RÓŻNE).
  Zobaczmy, jak się go robi.
  
  Z powodu "zewnętrznej" wartości bezwzględnej f(x) jest dodatnia lub zero.
  
  W mianowniku jest x - 2, więc dziedziną funkcji f(x) jest R \\ {2}.
  W punkcie x = 2 funkcja ma asymptotę pionową.
  Ponieważ w mianowniku jest | x - 2 | to funkcja musi rosnąć tak samo
  po obu stronach punktu x = 2, stąd "czubek" w tym punkcie.
  Gdy oddalamy się od x = 2 w prawo lub w lewo funkcja musi maleć,
  aż dojdziemy do któregoś z punktów x = 0 lub x = 4, gdzie funkcja się zeruje.
  
  Dla x < 0 lub x > 4 funkcja ponownie rośnie.
  Dla bardzo dużych x wyrażenie 2 / |x - 2| dąży do zera i wartość funkcji dąży do 1,
  czyli funkcja ma asymptotę poziomą y = 1 (czerwona kreska na wykresie).
  
  Pytanie tylko, czy nie ma tam jakiegoś maksimum. Aby to sprawdzić weźmy x > 4.
  Wtedy można się pozbyć wszystkich wartości bezwzględnych i badać funkcję:
  h(x) = 1 / (x - 2) - 1
  Jej wykresem są dwie gałęzie hiperboli, a hiperbola nie ma ekstremów.
  Wobec tego funkcja f(x) też ich nie ma.
  ----------------------------------
  
  Badamy ilość rozwiązań równania f(x) = m czyli funkcję g(m)
  Bierzemy poziomą kreskę - taką, jak ta czerwona - i przesuwamy ją w górę,
  zaczynając poniżej osi OX.
  
  Oczywiście dla m < 0 nie ma rozwiązań więc g(m) = 0.
  
  Gdy kreska pokrywa się z osią OX mamy 2 rozwiązania, znalezione poprzednio.
  
  Następnie przesuwamy kreskę w górę pomiędzy 0 i 1, nie dochodząc do 1.
  Z wykresu f(x) widać, że przecinamy wtedy wykres f(x) w czterech miejscach.
  
  Gdy dojdziemy do 1 (do asymptoty) mamy ponownie 2 rozwiązania
  (bo pamiętaj, dla dużych x funkcja DĄŻY do 1, ale nie osiąga wartości 1).
  Potem dla m > 1 juz ciągle jest tylko 2 rozwiązania.
  
  Definiujemy g(m). Z lewej strony g(m) = i duża klamra, a za klamrą:
  
  0 dla m < 0
  2 dla m = 0
  4 dla 0 < m < 1
  2 dla m >= 1
  
  Wykres jest w załączniku "wykres_g.pdf", tylko trzeba do jeszcze "ozdobić".
  Tam gdzie czerwona kreska pokrywa się z osią m (czyli gdy g(m) = 0)
  w punkcie (0,0) dorysuj KÓŁKO.
  
  Na pionowej osi dorysuj KROPKĘ w punkcie y = 2.
  Odpowiada to dwóm rozwiązaniom dla m = 0.
  
  W punkcie y = 4 dorysuj KÓŁKO, i także KÓŁKO na końcu tej krótkiej kreski.
  Natomiast z lewej strony kreski na wysokości y = 2 dodaj KROPKĘ.
  =====================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres_f.pdf (6 KB)

  • wykres_g.pdf (21 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    agafa 8.6.2017 (13:52)

    Bardzo dziękuję za pomoc ,i dokładne objaśnienia :))