Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 3

  antekL1 10.4.2017 (08:14)

  Zad. 1.
  Liczba 7 * pierw(2) - 2 * pierw(6) jest dodatnia gdyż nawet jeśli przybliżymy
  pierw(2) przez 1 oraz pierw(6) przez 3 to mamy 7 * 1 - 2 * 3 = 1 czyli > 0.
  Napiszmy tak, wpisując znak zapytania zamiast nierówności:
  
  7 * pierw(2) - 2 * pierw(6) ? 5 ; podnosimy obie strony do kwadratu
  98 - 28 * pierw(12) + 24 ? 25 ; przenosimy pierwiastek na prawo, 25 na lewo
  99 ? 28 * pierw(12) ; jeszcze raz obie strony do kwadratu
  9801 ? 9408
  Teraz widać, że zachodzi nierówność 9801 > 9408
  Wobec tego wychodzimy z tej nierówności i udowadniamy kolejne "od końca".
  Mamy dowód, że 7 * pierw(2) - 2 * pierw(6) > 5
  
  Na kalkulatorze można sprawdzić - faktycznie,
  7 * pierw(2) - 2 * pierw(6) = około 5,00052 czyli więcej niż 5.
  ===========================================
  
  Zad. 2.
  Pierwszy sposób:
  Wciągu najbliższych 12 godzin bez 1 sekundy wskazówki spotkają się 11 razy
  (po godzinie pierwsze, drugiej, trzeciej...., jedenastej.
  Czyli spotkania następują co 12 / 11 godziny.
  Pierwsze nastąpi o godzinie 1 i 1 / 11
  
  Drugi sposób:
  Niech "t" oznacza czas spotkania (liczony w godzinach).
  W tym czasie wskazówka godzinowa pokona drogę t (w godzinach),
  a minutowa drogę 12 + t.
  Ale minutowa wskazówka porusza się z prędkością 12 v.
  godzinowa z prędkością v. Czyli:
  
  (12 + t) / (12v) = t / v ; skracamy v, mnożymy przez 12
  12 + t = 12 t ; stąd
  t = 12 / 11 godziny, co daje identyczny wynik jak pierwsza metoda.
  ===========================================
  
  Zad. 3.
  Oznaczmy przez P pojemność zbiornika (np. w litrach), to się skróci.
  Określmy wydajności kranów w jednostkach "litr / dobę"
  Pierwszy kran : v1 = P / 2
  Drugi kran : v2 = P / 3
  Trzeci kran : v3 = P / 4
  Czwarty kran : v4 = P / (1/2) = 2 P
  Pracujące razem krany mają wydajność v = v1 + v2 + v3 + v4 czyli
  v = P / 2 + P / 3 + P / 4 + 2P = 37 / 12 P
  
  Czas napełniania się zbiornika t = P / v ; wstawiamy nasze v
  t = P / (37/12 P) = 12 / 37 doby.
  
  Trzeba to teraz przeliczyć na godziny, minuty, sekundy.
  Mnożymy 12 / 37 przez 24 i mamy czas w godzinach;
  (12 / 37) * 24 = 288 / 37 = 7 i 29 / 37 godziny. Liczymy minuty:
  (29 / 37) * 60 = 1740 / 37 = 47 i 1 / 37 minuty. Liczymy sekundy:
  (1 / 27) * 60 = 60 / 37 = około 2 sekund.
  
  Razem wychodzi; 7 godzin 47 minut 2 sekundy
  ===========================================
  
  Zad. 4.
  Jeśli liczba n jest wielokrotnością liczby 5 (czyli gdy n = 5k)
  to n^3 - n = 125 k^3 -- 5k = 5 * (25 k^3 - k) czyli n^3 - n jest podzielne przez 5.
  
  Jeśli n NIE jest wielokrotnością liczby 5 to zapisujemy:
  n = 5k + m ; gdzie m = 1; 2; 3 lub 4. Obliczamy takie wyrażenie:
  (5k + m)^3 - (5k + m) =
  = 125 k^3 + 75 k^2 m + 15 k m^2 + m^3 - 5k - m =
  5 * (25 k^3 + 15 k^2 m + 3 k m^2 - k) + m^3 - m
  
  Pierwsza część tej sumy jest podzielna przez 5, sprawdzamy drugą część:
  m = 1 to mamy m^3 - m = 1 - 1 = 0 ; jest podzielne
  m = 4 to mamy m^3 - m = 64 - 4 = 60 ; jest podzielne
  
  Dla m = 2 lub m = 3 bierzemy drugą możliwość:
  (5k + m)^3 + (5m + k) = 5 * (25 k^3 + 15 k^2 m + 3 k m^2 + k) + m^3 + m
  
  m = 2 to mamy m^3 + m = 8 + 2 = 10 ; jest podzielne
  m = 3 to mamy m^3 + m = 27 + 3 = 30 ; jest podzielne.
  
  W ten sposób udowodniliśmy że liczby postaci n = 5k + m
  dają zawsze albo różnicę albo sunę n^3 i n podzielną przez 5. Koniec dowodu.
  ===========================================
  
  Proszę zamieść pozostałe zadania oddzielnie, za dużo na raz!

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj