Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.3.2017 (15:48)

  Pierwszy przykład od góry.
  Mianownik jest iloczynem liniowych wyrażeń względem "x"
  więc da się całe wyrażenie zapisać jako:
  
  A / (x - 1) + B / (x - 2) + C / (x - 3) + D / (x - 4)
  
  Aby znaleźć liczby A, B, C, D sprowadzamy powyższe wyrażenie do wspólnego mianownika. Wybacz, ale użyję programu do symbolicznych obliczeń, aby się nie pomylić. Wychodzi taki licznik:
  
  (A + B + C + D) x^3 + (-9A -8B - 7C - 6D) x^2 + ....
  ... + (26A + 19B + 14C + 11D) x - 24A - 12B - 8C - 6D
  
  Ma się to równać 12, czyli to, co stoi przy x^3, x^2, x ma się zerować.
  Dostajemy układ równań liniowych:
  
  A + B + C + D = 0
  -9A -8B - 7C - 6D = 0
  26A + 19B + 14C + 11D = 0
  - 24A - 12B - 8C - 6D = 12
  
  Rozwiązanie tego (ponownie używam programu) daje:
  A = -2 ; B = 6 ; C = -6 ; D = 2
  
  więc szukany rozkład to:
  -2 / (x - 1) + 6 / (x - 2) - 6 / (x - 3) + 2 / (x - 4)
  ==================================
  
  Środkowy przykład.
  Rozkładamy mianownik w taki sposób:
  x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 -1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)
  Jest tu jeden nawias zawierający nierozkładalne x^2 + 1 i dwa nawiasy liniowe.
  Proponujemy więc taki rozkład:
  
  (A x + B) / (x^2 + 1) + C / (x + 1) + D / (x - 1)
  
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika jak poprzednio, licznik to:
  
  (A + C + D) x^3 + (B - C + D) x^2 + (-A + C + D) x - B - C + D
  
  Ma się to równać x^2, stąd układ równań:
  
  A + C + D = 0
  B - C + D = 1
  -A + C + D = 0
  - B - C + D = 0
  
  Rozwiązanie: A = 0; B = 1/2; C = -1/4; D = 1/4
  
  Rozkład:
  (1/2) / (x^2 + 1) - (1/4) / (x + 1) + (1/4) / (x - 1)
  ==================================
  
  Dolny przykład.
  UWAGA! Tu jest nierozkładalny czynnik x^2 + 1, ale W KWADRACIE.
  Proponujemy rozkład:
  
  A / (x + 1) + (Bx + C) / (x^2 + 1) + (Dx + E) / (x^2 + 1)^2
  
  Sprowadzamy do wspólnego... itd. Licznik:
  
  (A + B) x^4 + (B + C) x^3 + (2A + B + C + D) x^2 + ( B + C + D + E) x + A + C + E
  
  Daje to 5 równań:
  A + B = 0
  B + C = 0
  2A + B + C + D = 0
  B + C + D + E = 4
  A + C + E = 0
  
  stąd: A = -1; B = 1; C = -1; D = 2; E = 2
  
  Rozkład:
  -1 / (x + 1) + (x - 1) / (x^2 + 1) + (2x + 2) / (x^2 + 1)^2
  ==================================
  
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Sorry, że nie piszę szczegółowych obliczeń, ale wtedy rozwiązanie miałoby z 10 stron.
  Mamy XXI wiek i programy typu "Maxima" albo w sieci "Wolfram Alpha"
  które te iloczyny wielomianów liczą.
  W końcu w zadaniu chodzi o to, aby zaproponować właściwy rozkład na ułamki proste, a nie o sprawdzenie znajomości tabliczki mnożenia. Podobnie te układy równań liniowych - w końcu jest to zadanie na poziomie "studia" - mam pewność, że rozwiążesz układ liniowy z kilkoma niewiadomymi.
  Sprawdzałem te końcowe wzory na rozkład - spokojnie, NIE chciałem zrobić głupiej literówki, przepisywałem myszą i liczyłem (programem) "w drugą stronę" .
  
  Szczególnie w przykładzie na dole: ważne jest,
  aby użyć zarówno ... / (x^2 + 1) jak też ... / (x^2 +1)^2.
  
  To jest rozkład na liczby RZECZYWISTE, w liczbach zespolonych ZAWSZE da się sprowadzić mianownik do takiej postaci, jak przykład na górze i jest potem łatwiej :)
  =========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie