Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 21.2.2017 (22:36)

  Oblicz pochodną funkcji:
  a) f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - x + 10
  Pochodna: f ' (x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 1
  
  b) f(x) = 3/5 x^5 + 3/4 x^4 - 2x^3 + 1/2 x + 8
  Pochodna: f ' (x) = 3x^4 + 3x^3 - 6x^2 + 1/2
  ==============================================
  
  Zbadaj monotoniczność funkcji:
  
  a) f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 7
  
  Liczymy pochodną: f ' (x) = 3x^2 - 8x - 16
  Analizujemy równanie pochodnej. Przedstawia ono parabolę w kształcie litery "U", mającą dwa miejsca zerowe ro równanie:
  3x^2 - 8x - 16 = 0
  ma dodatni wyróżnik:
  Delta = (-8)^2 - 4 * 3 * (-16) = 256 ; pierwiastek(Delta) = 16
  Mniejsze miejsce zerowe: x1 = (8 - 16) / 6 = - 4/3
  Większe miejsce zerowe: x2 = (8 + 16) / 6 = 4
  Pochodna jest dodatnia na lewo od x1 i na prawo od x2 więc: funkcja f(x) jest :
  rosnąca[ w przedziale ( -oo; - 4 / 3) U (4; +oo)
  malejąca w przedziale ( - 4 / 3; 4 )
  ma maksimum lokalne w x = - 4 / 3
  ma minimum lokalne w x = 4
  ------------------------------------------------
  
  b) f(x) = x^3 + 18x - 7
  Liczymy pochodną: f ' (x) = 3x^2 + 18
  Równanie pochodnej przedstawia parabolę w kształcie "U" i jest wszędzie dodatnia.
  Funkcja jest rosnąca dla x należy do R, czyli wszędzie.
  ------------------------------------------------
  
  c) f(x) = x^2 / (x-3)
  Liczymy pochodną jako pochodną ilorazu:
  f ' (x) = [ 2x (x - 3) - x^2 ] / (x - 3)^2 = x (x - 6) / (x - 3)^2
  Analizujemy wzór pochodnej:
  Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie funkcji czyli dla D = R \ { 3 }.
  Licznik jest dodatni dla x < 0 oraz dla x > 6, ujemny w przedziale (0; 6) \ { 3 }
  czyli: funkcja jest :
  rosnąca w przedziale - oo; 0) U (6; +oo)
  malejąca w przedziale (0; 6) \ { 3 }
  ma maksimum lokalne w x = 0
  ma minimum lokalne w x = 6
  Zauważ, że wykluczamy punkt x = 3 w którym funkcja NIE istnieje.
  Wykres funkcji jest w załączniku.
  ==============================================

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie