Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 22.2.2017 (06:25)

  Stopa roczna 12% oznacza stopę miesięczną 1%, czyli aktualna kwota S(n) w banku rośnie do wartości S(n+1) równej:
  
  S(n+1) = 1,01 S(n)
  
  Zapiszmy to 1,01 jako q
  
  Startową kwotę oznaczmy przez S. Wynosi ona: S = 200000 * q^4 = 208121 zł
  
  Przez K oznaczmy kwotę pobieraną co miesiąc przez 10 * 12 = 120 miesięcy.
  Zadanie tego nie precyzuje, ale powiedzmy, że wypłata następuje PO doliczeniu przez bank odsetek za poprzedni miesiąc. Następne odsetki są liczone już od zmienionej sumy S.
  
  Po pierwszej wypłacie dysponujemy sumą S - K i od tego liczą się odsetki.
  Czyli PRZED kolejną wypłatą zgromadzone środki wynoszą: (S - K) q.
  
  Z tego wypłacamy K i dysponujemy kwotą (S - K) q - K
  Po doliczeniu odsetek przed kolejną (już trzecią) wypłatą mamy : [ (S - K) q - K ] q
  Wypłacamy K, zostaje: [ (S - K) q - K ] q - K
  Wymnóżmy te nawiasy:
  
  [ (S - K) q - K ] q - K = (S - K) q^2 - K q - K = S q^2 - K (q^2 + q + 1)
  
  Jak widać mnożymy S przez q^(n - 1), a w nawiasie mamy sumę szeregu geometrycznego o ilorazie q. Taka suma wynosi:
  
  1 + q + q^1 + ... + q^(n-1) = ( q^n - 1 ) / ( q - 1 )
  
  Po "n" wypłatach mamy na koncie:
  
  S q^(n - 1) - K (q^n - 1) / (q - 1). Ta wielkość w końcu się wyzeruje. Daje to równanie:
  
  S q^(n - 1) = K (q^n - 1) / (q - 1) ; stąd: K = S q^(n - 1) * (q - 1) / (q^n - 1)
  
  Podstawmy dane: S = 208121 oraz q = 1,01 oraz n = 120
  
  K = 208121 * 1,01^119 * (1,01 - 1) / (1,01^120 - 1) = około 2956,37 zł
  
  Dla porównania: Bez kapitalizacji pobierana kwota wynosiłaby:
  200000 / 120 = około 1666,67 zł
  ==============================
  
  Wynik jest prawie identyczny, jak przy obliczaniu rat kredytu:
  R = S (q - 1) / [ 1 - q^(-n) ] = S q^n (q - 1) / (q^n - 1)
  
  Jedyna różnica to q^(n-1) w liczniku zamiast q^n. Wiąże się to z inną kolejnością wypłat i doliczania odsetek. Jeżeli postąpimy DOKŁADNIE według "kredytowego" wzoru ale jako sumę początkową weźmiemy sumę po trzech miesiącach czyli S ' = 200000 * q^3 = 206060 zł to otrzymamy stosując wzór "kredytowy" identyczny wynik:
  
  R = 206060 * 0,01 / [1 - 1,01^(-120) ] = 2956,36 ; jeden grosz różnicy wynika z przybliżeń.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie